2019)

Em 17 out 2019 por nelsonem AulasDeixe um comentário

Na aula de hoje iremos começar por revisitar alguns conceitos envolvendo números reais para aplicarmos na resolução de equações e inequações [algébricas]. Iremos ainda:

introduzir a função módulo;
falar um pouco da relação com a função módulo e função quadrática;
relembrar fórmula de Bhaskara e fatoração de polinômios quadráticos.

Para tal, iremos concentrar nossa atenção na resolução dos exercícios 79. a 85 (pp. 28-29) do Capítulo 3. do Livro de Exercícios. Recomendo fortemente que você, aluno, procure por você mesmo resolver as seguintes listas de 2017 que se encontram no GRADMAT:

Lista – Álgebra Básica (versão: 08/06 – 3:45)
Lista – Números Reais (versão: 12/07 – 17:30)

Para terminar este post, deixo-vos apenas uma lista de propriedades úteis para a resolução de vários exercícios daqui em diante.

Propriedades elementares de números reais

Embora já muitas vezes mencionado em aulas anteriores, comece por relembrar as seguintes propriedades envolvendo soma e multiplicação de números reais:

Comutatividade
- Soma: $a+b=b+a$
- Produto: $ab=ba$
Associatividade
- Soma: $(a+b)+c=a+(b+c)$
- Multiplicação: $(ab)c=a(bc)$
Distributividade (envolve soma e multiplicação)
- $a(b+c)=ab+ac$
Elemento Neutro
- Soma: $a+0=0$
Elemento Identidade
- Multiplicação: $a.1=1$
Inverso de
- $a^{-1}=\frac{1}{a}$

Ordenação de números reais

Dados dois números reais $a$ e $b$ positivos ( $a>0$ e $b>0$ , respetivamente), tem-se que:

$a+b>0$
$ab>0$

Dizemos ainda que:

$a<b$ quando $b-a>0$ .
$a>b$ quando $b-a<0$ .
$a\leq b$ quando $a<b$ ou $a=b$ (i.e. quando $b-a\geq 0$ ).
$a\geq b$ quando $a>b$ ou $a=b$ (i.e. quando $b-a\leq 0$ ).

Transitividade: As relações de ordem $a<b$ e $b<c$ implicam $a<c$ . Para este caso é comum representar esta situação pela seguinte sequência de desigualdades

$a<b<c$ .

Adicionalmente, ainda é possível estabelecer as seguintes relações de ordem para soma e produto:

$a<b$ implica $a+c<b+c$
$a<b$ e $c<d$ implica $a+c<b+d$
$a>0$ implica $\frac{1}{a}>0$
$a<0$ implica $\frac{1}{a}<0$
$a<b$ e $c>0$ implica $ac<bd$
$a<b$ e $c<0$ implica $ac>bd$ (inverte o sentido da desigualdade).

Adenda: Este é o último post antes da Prova 1. As próximas aulas serão essencialmente dedicadas à resolução de exercícios [envolvendo equações e inequações] na lousa.

Aula 7 BM (14/10/2019)

Em 13 out 201915 out 2019 por nelsonem AulasDeixe um comentário

Na aula de hoje iremos aplicar essencialmente o que foi aprendido na Aula 6 BM (10/10/2019) sobre indução matemática. Em particular, iremos discutir estratégias de resolução para alguns casos em concreto, para além dos que irei mencionar ao longo deste post.

Demonstração de somas por indução

Vários exemplos que foram deixados no final do post da Aula 6 BM (10/10/2019) envolvem somas da forma

$S_n=a_{n_1}+a_{n_1+1}+\ldots+a_{n}.$

Estas últimas estão intrinsicamente relacionadas com conjuntos indutivos, cujo elemento mínimo é $n_1$ e o elemento sucessor é determinado por $s(n)=n+1$ .

Neste tipo de situações:

O Caso Base consiste em mostrar que a fórmula $S_{n_1}=a_{n_1}$ se verifica.
Supondo agora que a igualdade envolvendo $S_k$ (i.e. igualdade satisfeita para $n=k$ ), o Passo Indutivo consiste em mostrar que $S_{k+1}$ também é satisfeita, com base na fórmula de recorrência $S_{k+1}=S_k+a_{k+1}$ .

Para ilustrarmos o caso acima, comecemos com o seguinte exemplo:

Exemplo (variante do Exercício 52 (p. 21) do Livro de Exercícios)

Mostre que a fórmula

$3. 3!+4.4!+\ldots+n.n!=(n+1)!-6$

é verdadeira para todo o natural $n$ maior ou igual a três.

Para o exemplo acima, o conjunto indutivo associado tem $n_1=3$ como elemento mínimo e $s(n)=n+1$ como função sucessor.

Para realizarmos a demonstração por indução, teremos que demonstrar que para

$S_n=3. 3!+4.4!+\ldots+n.n!$

vale a igualdade $S_n=(n+1)!-6$ para todo o $n\geq 3$ natural.
Caso Base: Se fizermos $n=3$ , temos

$(3+1)!-6=24-6=18$ e $S_3=3.3!=3.6=18$ .

Portanto, $S_3=(3+1)!-6$ (i.e. a igualdade é verdadeira para $n=3$ ).
Passo Indutivo:

Para demonstrarmos o passo indutivo, comecemos por observar que

$S_{k+1}=S_k+(k+1).(k+1)!$

[i.e. para obtermos a soma dos $k+1$ primeiros termos, basta à soma dos $k$ primeiros termos, juntarmos o termo seguinte/sucessor da soma (neste caso, $(k+1).(k+1)!$ ).

Assumindo agora que a igualdade $S_k=(k+1)!-6$ é satisfeita, obtemos que

$S_{k+1}=S_k+(k+1).(k+1)!=((k+1)!-6)+(k+1).(k+1)!$

Simplificando a última igualdade, obtemos ainda que

$S_{k+1}=(k+1)!(1+(k+1))-6=(k+2)!-6.$

Provámos assim que a igualdade $S_n=(n+1)!-6$ também é verdadeira para $n=k+1$ , como pretendido.

No próximo exemplo, vou cometer propositalmente um erro. O objetivo é que você o descubra:

Exemplo (variante do Exercício 51 (p. 21) do Livro de Exercícios)

Queremos mostrar que a fórmula

$\left(\dfrac{n(n+1)}{2}\right)^2-3^2=27+\ldots+n^3$

é verdadeira para todo o $n\geq 3$ natural.

Para $n=27$ , é fácil de verificar que $27=36-9$ .

Para o passo indutivo, precisamos de demonstrar que a igualdade

$\left(\dfrac{(k+1)(k+2)}{2}\right)^2-3^2=27+\ldots+k^3+(k+1)^3,$

assumindo que $27+\ldots+k^3=\left(\dfrac{k(k+1)}{2}\right)^2-3^2$ .

Neste caso,

$27+\ldots+k^3+(k+1)^3=\left(\dfrac{k(k+1)}{2}\right)^2-3^2+(k+1)^3.$

Simplificando o lado direito da expressão acima, segue que este é igual a

$\dfrac{k^2(k+1)^2}{4}-3^2+(k+1)^3=(k+1)^2\left(\dfrac{k^2}{4}+(k+1)\right)-9$

$(k+1)^2\dfrac{k^2+4k+4}{4}-9=\frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}-3^2.$

Provámos assim que a fórmula acima também é verdadeira para $n=k+1$ .

Revisão Indução

Caso ainda não tenha entendido até esta parte do post, assim como o foi abordado na aula anterior, convido-o a assistir ao vídeo [abaixo] do Prof. Márcio Silva da UFABC:

Nele pode encontrar um exemplo de indução muito semelhante aos que encontram na lista3.pdf (2016) do GRADMAT.

Procure agora por você mesmo resolver os exercícios abaixo, seguindo algumas das minhas dicas:

Exercício 50 (p. 21) do Livro de Exercícios
O que acontece se substituirmos por $n=0$ em ambos os lados da igualdade [a ser demonstrada]?

Exercício 86 (a) (p. 31) do Livro de Exercícios
Mostre que a igualdade
$b^n-a^n=(b-a)(a^{n-1}+b a^{n-2}b^2+\ldots +a^2b^{n-2})[=:S_n]$
é verdadeira para todo o $n\geq 2$ natural.
Dica: Use a igualdade

$b^{k+1}-a^{k+1}=bb^k-a^{k+1}=b(a^k+S_k)-a^{k+1}$

onde $S_k$ denota o lado direito da igualdade acima para $n=k$
A prova do caso indutivo segue assim naturalmente após a substituição $S_k=b^k-a^k$ .

Exercício 3. da REC06Outubro2018.pdf [igualdades envolvendo os nºs triangulares $T_n=\frac{n(n+1)}{2}$ ]
Dica: Mais fácil provar a igualdade equivalente

$T_1+T_2+\ldots+T_n =\dfrac{n+2}{3}T_n$ .

Em concreto, observe que a igualdade
$T_1+T_2+\ldots+T_k =\dfrac{k+2}{3}T_k$
implica

$\displaystyle T_1+T_2+\ldots+T_k+T_{k+1} =\dfrac{k+2}{3}T_k+T_{k+1}=\frac{k(k+1)(k+2)+3(k+1)(k+2)}{3}.$

[termine você mesmo de mostrar o passo indutivo.]

Exercício 3. da REC04Outubro2018.pdf [igualdades envolvendo frações
Dica: Mais fácil mostrar a igualdade equivalente $q_n=3p_n$ , para $p_n=1+3+\ldots+(2n-1)$ & $q_n=(2n+1)+(2n+3)+\ldots+(2n+(2n-1))$ .

Se mostrar por indução em $n\in \mathbb{N}$ que:

$q_n=2n^2+p_n$
$p_n=n^2$ (vide exemplos no final do post da Aula 6 BM (10/10/2019))

consegue chegar na conclusão que a fórmula $q_n=3p_n$ é sempre verdadeira, para todo o $n$ natural [agora procure fazer por você mesmo].

Demonstração de produtos por indução

Exercícios como p.e. o 52. (p. 21) & o 66 (p. 24) do Livro de Exercícios
envolvem produtos da forma

$P_n=p_{n_1}p_{n_1+1}\ldots p_{n}.$

Tal como no caso anterior, estamos perante o conjunto indutivo da forma

$\{n_1,n_1+1,n_1+2,\ldots,n,\ldots\}$

pelo que

a demonstração do Caso Base consiste em mostrar que a fórmula $P_{n_1}=p_{n_1}$ se verifica para $n=n_1$ .
Supondo agora que a igualdade envolvendo $P_k$ (i.e. igualdade satisfeita para $n=k$ ), o Passo Indutivo consiste em mostrar que $P_{k+1}$ também é satisfeita, com base na fórmula de recorrência $P_{k+1}=p_{k+1}.P_k$ .

Observação:
Tal como a função fatorial que aparece definida no Exercício 52. (p. 21) do Livro de Exercícios, a função exponencial $P_n=a^n$ ( $a\neq 1$ & $n\in \mathbb{N}\cup\{0\}$ ) satisfaz as relações de recorrência $a^0=1$ e $a^{k+1}=aa^k$ .

Demonstração de desigualdades usando conjuntos indutivos

Ao longo do Livro de Exercícios você terá a possibilidade de encontrar vários exercícios que envolvem desigualdades — p.e. o Exercício 58 (p. 22) & Exercício 71 (p. 25).

O exemplo que disponibilizei no link https://www.geogebra.org/classic/zfdmreqg
vai ao encontro do Exercício 71 (p. 25) do Livro de Exercícios) ilustra o seguinte fato curioso:

Para valores pequenos de $n$ , é possível verificar que $n!$ é maior (i.e. cresce mais rápido) que a função exponencial $a^n$ . No entanto, a partir de uma determinada ordem $n\geq n_1$ , é possível verficar via gráfico e via os valores da tabela que

$n!>a^n$ para todo o $n\geq n_1$ natural.

Para demonstrarmos o passo indutivo em cada um dos casos apresentados, teremos de demonstrar a seguinte implicação:

$k!>a^{k} \Longrightarrow (k+1)!>a^{k+1}$

Para tal, note o seguinte:

Por definição, temos $(k+1)!=(k+1)k!$ e $a^{k+1}=aa^{k}$ ( $a>0$ fixo).

Como $a<n_1\leq n$ em todos os casos apresentados no link https://www.geogebra.org/classic/zfdmreqg ( $a=2$ , $a=3$ ou $a=5$ ), podemos obter a seguinte sequência de (des)igualdades

$(k+1)!=(k+1)k!>(k+1)a^k>aa^k=a^{k+1}.$

[consegue chegar, por você mesmo, à conclusão acima para os casos que ilustrei na tabela?]

Mais exemplos para treinar usando a noção de conjunto indutivo

Se bem se lembra da Aula 6 BM (10/10/2019), nem sempre o sucessor de um elemento num conjunto indutivo é da forma $s(n)=n+1$ .
Acresce ainda que para demonstrarmos, no final da aula anterior (lousa) que $n(n+1)$ era sempre um número par, precisámos de reconhecer com base na igualdade

$(k+1)(k+2)=k(k+1)+2(k+1)$

que a soma de $k(k+1)$ por $2(k+1)=2+2+\ldots + 2$ (somar $k+1$ vezes o número $2$ ) correspondia ao cálculo recorrente de sucessores de um número par, partindo do valor $k(k+1)$ .

Usando agora a lógica de demonstração sobre conjuntos indutivos, pretende-se que você mostre que:

Para $n$ par, o resto da divisão de $2^n-1$ por $3$ dá sempre $0$ ;
Para $n$ ímpar, o resto da divisão de $2^n-1$ por $3$ dá sempre $1$ ;
Enuncie e formule resultados análogos ao acima com base nos termos $3^n-1$ que constam na tabela que partilhei em https://www.geogebra.org/classic/zteetbqv.

Como complemento:

Comece por mostrar que para $n$ par, o duplo fatorial $n!!$ é igual a $2^{\frac{n}{2}}\left(\frac{n}{2}\right)!$ ;
Resolva por completo o Exercício 77. (p. 28).

Aplicações

Para não estender mais este post, estas serão deixadas em exclusivo para a sala de aula.

Aula 6 BM (10/10/2019)

Em 9 out 201916 out 2019 por nelsonem Aulas1 comentário

A aula de hoje terá duas partes:

Uma será dedicada à conclusão última parte do post da Aula 5 BM (07/10/2019);
A outra será dedicada à introdução ao tema de Indução Matemática.

Motivação Indutiva:

Tal como introduzido em vários livros de texto [e em alguns sites], indução matemática é uma técnica de demonstração essencialmente assente na estrutura axiomática dos números naturais ( $\mathbb{N}$ ).
O que iremos fazer ao longo desta e da próxima aula é extrapolar e aplicar esta técnica de demonstração para conjuntos que são ‘equivalentes’ ao conjunto dos naturais [no sentido de Peano]. Estes conjuntos irão ser designados por conjuntos indutivos.
Iremos ainda procurar, ao longo desta e da próxima aula, dar um embasamento matemático para problemas tais como os que seguem abaixo:

Se lhe disserem que $1+2=3$ , $2+3=8$ , $3+4=15$ , $4+5=21$ , (etc) consegue adivinhar o resultado da soma $10+11$ ?
Consegue determinar a fórmula geral para os elementos do conjunto [infinito]
$\left\{\frac{1-\sqrt{5}}{2},\frac{1+\sqrt{5}}{2},\frac{1+3\sqrt{5}}{2},\ldots\right\}$ ?
Porque razão $cos\left(n\pi\right)=1$ para todo o $n$ par?
Como você constrói as linhas do triângulo de Pascal? E qual a relação entre as linhas do triângulo de Pascal e os números de Fibonacci?

Conjunto Indutivo:

Primeiramente, antes de partirmos para a demonstração por indução, temos de averiguar se o conjunto $A$ para o qual pretendemos demonstrar uma propriedade $P(n)$ tem a propriedade indutiva, isto é:

Admite um elemento mínimo $n_1\in A$ ;
Começando a partir do elemento mínimo, é possível determinar todos os restantes elementos do conjunto $n\in A$ a partir de uma função injetiva $\displaystyle s:A\rightarrow A$
[Ao elemento $s(n)$ de $A$ designamos por sucessor de $n$ ].
$s(A) \setminus A=\{n_1\}$
[esta propriedade significa que $n_1$ é o único elemento do conjunto $A$ que não é sucessor de nenhum elemento].

São exemplos de conjuntos indutivos:

Todos os números inteiros a partir de $0$ .
O conjunto dos números ímpares.
Todos os números naturais que são múltiplos de $3$ .
O conjunto infinito $\displaystyle \left\{\frac{1-\sqrt{5}}{2},\frac{1+\sqrt{5}}{2},\frac{1+3\sqrt{5}}{2},\ldots\right\}$
O conjunto $\displaystyle \{x\in \mathbb{R}~:~x\geq 0 ~~\mbox{e}~~\sin(x)=0\}$
[de todas as raízes não negativas da função trigonométrica seno].

Como exercício:

Verifique, com base nas condições 1., 2, & 3. [acima mencionadas] que os exemplos listados acima são, de fa(c)to, conjuntos indutivos.
Procure justificar, com base no que aprendeu, a razão pela qual números inteiros ( $\mathbb{Z}$ ) não formam um conjunto indutivo.

Demonstração por Indução:

Para mostrarmos que uma propriedade $P(n)$ é verdadeira para todo o elemento $n$ de $A$ (conjunto indutivo), i.e.

$\displaystyle \forall n\in A~~\displaystyle P(n)$

teremos de realizar os seguintes passos:

(Caso Base) Provar que a propriedade $P(n)$ é verdadeira para $n=n_1$ (elemento mínimo do conjunto indutivo $A$ );
(Passo Indutivo) Provar que a propriedade $P(n)$ é verdadeira para $n=k$ , então também é verdadeira para $n=s(k)$ (i.e. $P(n)$ também é verdadeira para o sucessor de $k$ em $A$ ).

Observação: Matematicamente, a prova do Passo Indutivo resume-se à prova da seguinte implicação:

$\displaystyle P(k) ~~\Longrightarrow~~P(s(k))$

Alguns exemplos ilustrativos (retirados da Newsletter #2, Julho de 2018)

Na próxima aula iremos nos debruçar na resolução de vários exercícios do Capítulo 2. do Livro de Exercícios. Por hoje iremos-nos focar em alguns exemplos interessantes que encontrei na página Facebook GIF Animados de Construções Geométricas:

Demonstração da fórmula $2+4+\ldots+2n=n(n+1)$ [exercício 1a) da Lista 4 do GRADMAT]. Essencialmente este exercício consiste em provar que a soma dos $n$ primeiros números pares é igual a $n(n+1)$ . [clique aqui]
Demonstração da fórmula $1+3+\ldots+2n-1=n^2$ [exercício 1b da Lista 4 do GRADMAT]. Essencialmente este exercício consiste em provar que para todo o $n$ natural a área de um quadrado de lado $n$ pode ser obtida a partir da soma primeiros números ímpares. [clique aqui]
Demonstração da fórmula $1^2+2^2+\ldots+n^2$ [exercício 2a) da Lista 4 do GRADMAT] — [clique aqui]– Veja também este post publicado na página de Facebook do IMPA.
Interpretação 2D da fórmula de indução $1^3+2^3+\ldots n^3=(1+2+\ldots+n)^2$ [equivalente exercício 50 do Livro de Exercícios]
se atentarmos que a soma dos primeiros $n$ números naturais é igual a $\dfrac{n(n+1)}{2}$ ] — [clique aqui]
Interpretação 3D da fórmula de indução $1^3+2^3+\ldots n^3=(1+2+\ldots+n)^2$ [equivalente ao exercício 50 do Livro de Exercícios]– [clique aqui]

O vídeo abaixo, que encontrei numa das caixas de comentários da página Facebook GIF Animados de Construções Geométricas dá-nos uma interpretação interessante para a fórmula $1^3+2^3+\ldots n^3=(1+2+\ldots+n)^2$ (conhecida na literatura como Teorema de Nicomachus).

Aula 5 BM (07/10/2019)

Em 6 out 201911 out 2019 por nelsonem Aulas2 Comentários

Atualização 08 Out. — Foram realizadas pequenas correções ao longo do post. Adicionados alguns comentários adicionais, para complementar o que foi discutido em sala de aula.

No final da Aula 4 BM (03/10/2019) introduzimos informalmente o conceito de função $f:A \rightarrow B$ como sendo um subconjunto de $A \times B$ da forma

$G_f=\{(x,f(x))~:~x\in A\}$ ,

tal que para $x\in A$ existe um e um só $y\in B$ para o qual a igualdade $y=f(x)$ é sempre satisfeita.

Na aula de hoje iremos trabalhar essencialmente os seguintes conceitos:

Igualdade de funções;
Imagem e pré-imagem de funções;
Composição de funções;
Funções injetivas, sobrejetivas e bijetivas.

Revisão da aula anterior

Com base no que aprendeu, você pode já procurar resolver os seguintes exercícios:

Os exercícios 1. & 2. da Lista_6.pdf do GRADMAT (2016)
O Exercício 23. (p. 13) do Livro de Exercícios.

E já agora, procure a partir da tabela do exercício 21. do Livro de Exercícios (pp. 12-13), definir por você mesmo uma função $f:\{O,A,B,AB\}\rightarrow \{O,A,B,AB\}$ a partir de um subconjunto $G_f$ de $S$ [determinado no item 21.(a)]:

$\Large \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|} \hline & O & A & B & AB \\ \hline O & \checkmark & \checkmark &\checkmark & \checkmark \\ \hline A & &\checkmark & & \checkmark \\ \hline B & & &\checkmark &\checkmark \\ \hline AB & & & &\checkmark \\ \hline \end{tabular}$

Igualdade de funções

Dizemos que funções $f:A\rightarrow B$ e $g:C\rightarrow D$ são iguais quando:

$A=C$ (domínios são iguais);
$f(x)=g(x)$ , para todo o $x \in A$ (expressões de $f$ e $g$ coincidem pontualmente).

Com base nesta definição, o que pode dizer sobre a igualdade entre as funções abaixo?

$f: \mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ e $g: \mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{N}$ definidas [pontualmente] por $f(n)=n^2$ e $g(n)=n^2$ ;
$f: \mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ e $g: \mathbb{N}\rightarrow \mathbb{Z}$ definidas [pontualmente] por $f(n)=n^2$ e $g(n)=n^2$ ;
$f: \mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{N}$ e $g: \mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}$ definidas [pontualmente] por $f(n)=\sqrt{n^2}$ e $g(n)=n$ ;
$f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ e $g: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ definidas [pontualmente] por $f(x)=\dfrac{1}{x^2+1}$ e $g(x)=\dfrac{x^2}{x^4+x^2}$ .

E já agora: Será que as expressões [algébricas] abaixo definem a mesma função?
Ou melhor: para que valores de $x\in \mathbb{R}$ as funções abaixo coincidem?

$f(x)=\dfrac{x+1}{x^2-1}$ e $g(x)=\dfrac{1}{x-1}$ ;
$f(x)=\dfrac{x^2-1}{x^2+1}$ e $g(x)=\dfrac{x^4-1}{x^4+2x^2+1}$ ;
$f(x)=\dfrac{x^2+1}{1-x^2}$ e $g(x)=\dfrac{-x^4-2x^2-1}{x^4-1}$ ;
$f(x)=\sqrt{x^2-2x}$ e $g(x)=\sqrt{x}\sqrt{x-2}$ .
[para este último exemplo, procure chegar a uma conclusão com base nos gráficos de ambas as funções que disponibilizei neste link]

Adenda: Este exercício é semelhante ao Exercício 31 (p. 15) do Livro de Exercícios.

Imagem e pré-imagem de funções

Nesta parte da aula iremos falar de dois tipos de subconjuntos que podem ser construídos a partir de uma função $f:A\rightarrow B$ :

Conjunto Imagem: Para $X \subseteq A$ definimos o conjunto $f(X)$ como sendo
$f(X)=\{f(x)~:~x\in A\}$ .
Conjunto Pré-Imagem: Para $Y \subseteq B$ definimos o conjunto $f^{-1}(Y)$ como sendo
$f^{-1}(Y)=\{x\in A~:~f(x)\in Y\}$ .

Observação: Não confunda pré-imagem com função inversa!

Como exercício:

Calcule o conjunto imagem $f(\{0,1,2\})$ da função $\displaystyle f(n)=\frac{4!}{n!(4-n)!}$ ;
Calcule os conjuntos pré-imagem $f^{-1}(\{0\})$ e $f^{-1}(\{0,1\})$ da função $f(x)=x^2-1$ ;
Conclua a resolução do Exercício 24. (p. 13) do Livro de Exercícios;
Os exercícios 6. & 7. da Lista_6.pdf do GRADMAT (2016).

Composição de funções

Nesta parte da aula iremos definir, com base no diagrama acima, a composição $f \circ g:A \rightarrow C$ entre duas funções $g:A \rightarrow B$ e $f:B \rightarrow C$ . Em particular, iremos verificar que:

Para $X \subseteq A$ , o conjunto imagem $(f \circ g)(X)$ é igual a
$(f \circ g)(X)=\{f(y)~:~y \in g(X)\}$ ;
Sempre que $g(X)\not\subseteq B$ , não é possível definir a composição $f \circ g$ ilustrada no diagrama acima (sabe justificar o porquê?)

Como exercício:

Determine, com base na figura abaixo, os conjuntos $G_f,G_g$ e $G_{g \circ f}$ que definem as funções $f,g$ e $g \circ f$ , respetivamente.
Calcule as composições $f \circ g$ e $g \circ f$ das seguintes funções:

$f(x)=x+2$ e $g(x)=3x-5$ ;
$f(x)=x^2$ e $g(x)=x-1$ ;
$f(x)=x+2$ e $g(x)=3x+\sqrt{x}$ .
$f(x)=\frac{x+3}{x-2}$ e $g(x)=\frac{x}{x+1}$ .

Resolva os Exercícios 29. & 30 (p. 14) do Livro de Exercícios.

Funções injetivas, sobrejetivas e bijetivas

Primeiramente, com base nas seguintes definições para uma função $f:A\rightarrow B$ :

função injetiva: $\forall a,b \in A~~(f(a)=f(b) \Longrightarrow a=b)$
função sobrejetiva: $f(A)=B$
função bijetiva: injetiva e sobrejetiva.

iremos verificar que:

A a função fatorial $f:\mathbb{N}\cup \{0\}\rightarrow \mathbb{N}$ definida por $f(n)=n!$ não é injetiva, tampouco sobrejetiva.
Se $A=\mathbb{R}$ e $B=\{x~:~x\in \mathbb{R}~~\mbox{e}~~y\geq -5\}$ , a função $f:A \rightarrow B$ definida por $f(x)=x^2-5$ não é injetiva mas é sobrejetiva, ao par que $g:A\rightarrow A$ definida por $g(x)=x^2-5$ nem é injetiva tampouco sobrejetiva (porquê?)
Para valores de $x\neq 2$ , a função definida por $\displaystyle f(x)=\frac{x+3}{x-2}$ é injetiva mas não é sobrejetiva se escolhermos $B=\mathbb{R}$ .

Observações (Sobrejetividade):

Para demonstrar que uma função é sobrejetiva, é suficiente mostrar a inclusão $B \subseteq f(A)$ , já que a inclusão $f(A)\subseteq B$ está sempre garantida por construção.
A inclusão $B \subseteq f(A)$ é equivalente a demonstrarmos a seguinte implicação:
$\forall b~~ [b\in B \Longrightarrow (\exists a \in A)~(b=f(a))]$ .
Por outras palavras, mostrar que uma função é sobrejetiva é equivalente a mostrar que para todos os elementos de $b\in B$ , a equação $f(a)=b$ admite [pelo menos] uma solução. Ora, para demonstrarmos que uma função não é sobrejetiva, basta determinarmos/encontrarmos pelo menos um elemento $b$ do contradomínio para o qual a equação $b=f(a)$ não admite solução.

Como exercício (em casa):

Verifique se funções $f:A \rightarrow B$ e $g:B\rightarrow C$ representadas no diagrama sagital acima são injetivas e/ou sobrejetivas.
Procure justificar porque razão uma função $f:\{-1,0,1\}\rightarrow \{0,1\}$ nunca pode ser injetiva, e uma função $g:\{0,1\}\rightarrow \{-1,0,1\}$ nunca pode ser sobrejetiva.
Procure resolver o Exercício 32. (p. 15) do Livro de Exercícios;

Na próxima aula:

Para além de abordarmos o Princípio de Indução Matemática:

Iremos falar do teste da reta horizontal, de forma a averiguar se uma função é ou não injetiva;
Discutir o resultado enunciado no Exercício 33. (p. 15) do Livro de Exercícios;
Determinar a função inversa de $\displaystyle f(x)=\frac{x+3}{x-2}$ ;
Resolver os Exercícios 30. (p. 14), 35. (p. 15), 45 (p. 20) & 49 (p. 21) do Livro de Exercícios.

Aula 3 IPE (03/10/2019)

Em 2 out 20192 out 2019 por nelsonem AulasDeixe um comentário

O objetivo desta aula passa por consolidar o que foi aprendido na última parte da Aula 2 IPE (30/09/2019), assim como introduzir o aluno ao formalismo da axiomática de probabilidade.

Soluções Inteiras de Equações

Nesta parte da aula pretende-se, entre outras coisas, que o aluno consiga explicar porque razão a equação
$n_1+n_2+\ldots+n_r=k$ , com todos os $n_i\geq 0$

admite $\left(\begin{array}{cc}k-r-1 \\ r-1 \end{array}\right)$ soluções [inteiras] possíveis.
Dica: Iremos considerar as mudanças de variável $n_i=x_i-1$ ( $x_i\geq 1$ ).

Para além do último exercício deixado no final da aula passada, iremos também procurar resolver:

Alguns dos exercícios da Lista 2 (Análise Combinatória) da Profª Priscila Leal Silva.
Os primeiros dois exercícios das P1’s de IPE de 2016:(A4-Noturno) Versão A | Versão B (B-Diurno) Versão A | Versão B

Espaço de probabilidade: definição de espaço amostral e de probabilidade

Neste parte da aula iremos começar por introduzir a ‘função de probabilidade’ $A\mapsto P(A)$ como sendo a função que associa todo o acontecimento $A\subseteq \Omega$ ( $\Omega$ — conjunto universo) um valor no intervalo $[0,1]$ .

Para tal, com bases nos seguintes axiomas de probabilidade:

Axioma 1: $P(A)\geq 0$ , para todo o $A \subseteq \Omega$
(Probabilidade é sempre uma quantidade não negativa).
Axioma 2: $P(\Omega)=1$
(Acontecimento certo)
Axioma 3: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$ , sempre que $A \cap B=\emptyset$
(Acontecimentos mutualmente exclusivos).

iremos mostrar as seguintes propriedades:

(Acontecimento Contrário) $P(A^c)=1-P(A)$
(Acontecimento Impossível) $P(\emptyset)=0$
(Acontecer apenas um só) $P(B\setminus A)=P(B)-P(A\cap B)$
(Acontecer pelo menos um) $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
(Generalização do Axioma 3:) $\displaystyle P(A_1\cup A_2\cup \ldots \cup A_n)=\sum_{i=1}^n P(A_i)$ sempre que $A_i \cap A_j=\emptyset$ ( $i\neq j$ ).

Entre outros exemplos, iremos considerar como exemplos alguns dos exercícios da IPE2016_L1.pdf (2016).

Leituras recomendadas:

Para além dos exemplos e exercícios que constam nos capítulos 1. & 2. do livro de Sheldon Ross, recomendo para esta e para as próximas aulas:

As notas de aula de Estatística descritiva e Introdução à probabilidade da Profª Priscila Leal Silva.
(uma breve súmula do que pode encontrar no livro de Sheldon Ross);
Capítulo 1. do livro Probability and Statistics de Morris H. DeGroot & Mark J. Schervish (para uma visão mais abrangente dos conceitos introduzidos no livro de Sheldon Ross)- (A título de curiosidade: este é um dos meus livros favoritos que uso como inspiração …).

Aula 4 BM (03/10/2019)

Em 2 out 20196 out 2019 por nelsonem Aulas1 comentário

Atualização 06 Out. — A última parte da aula, abordada de forma bastante informal, será continuada na Aula 5 BM (07/10/2019)

Na aula de hoje pretendemos:

Consolidar o que foi aprendido na Aula 3 BM (30/09/2019). Vide também:
- O livro Conjuntos e Funções dos autores IEZZI, G., MURAKAMI, C., HAZZAN, S., & DOLCE, O. (coleção de livros indicados no Plano de Ensino).
- O capítulo 2. Generalidades sobre Conjuntos do livro de CAPUTI A. & MIRANDA D. (também indicado no Plano de Ensino).
Trabalhar a noção de produto cartesiano $X \times Y$ entre dois conjuntos $X$ & $Y$ .
Introduzir a noção de função, de conjunto imagem e conjunto pré-imagem com base na noção de produto cartesiano.

Revisão da aula anterior

Uma das dúvidas que surgiu na aula anterior foi a respeito de representar diagramas de Venn-Euler associados à operação diferença de conjuntos $A \setminus B$ . Nomeadamente reconhecer, com recurso ao diagrama de Venn-Euler, que este coincide com a interseção dos conjuntos $A$ e $B^c$ .
Para esclarecer esta e outras dúvidas que eventualmente surgiram, procure fazer no papel as representações de diagramas de Venn-Euler para o exemplo GeoGebra que disponibilizei neste link. Clique depois nas “caixinhas a branco” para verificar se a sua representação obtida no papel está correta :-).

Este exercício didático poderá vir a ser útil para posteriormente procurar resolver os exercícios que deixei no final do post da última aula, assim como o Exercício 12. (p. 10) do Livro de Exercícios — um pouco mais avançado.

Desafio: Envie a sua resolução do Exercício 12. para o Professor. As resoluções serão aqui partilhadas neste espaço.

Produto Cartesiano de Conjuntos — Definição e Propriedades

Para definirmos o produto cartesiano como

$X \times Y=\{(x,y)~:~x\in X~~\mbox{e}~~y\in Y\}$

precisamos de definir o que representa o par ordenado $(x,y)$ .

Formalmente, este pode ser definido como o conjunto formado pelos elementos $x$ & $\{x,y\}$ , isto é

$(x,y)=\{x,\{x,y\}\}.$

Desta última definição facilmente podemos concluir a seguinte equivalência:

$(x,y)=(a,b) \Longleftrightarrow x=a~~\mbox{e}~~y=b$

(Consegue justificar o porquê?)

A propriedade acima é útil para resolver o exercício 18. do Livro de Exercícios (pp. 12-13), cuja dica de resolução se encontra em nota de rodapé.

Observações:

$X \times Y$ não é o mesmo que $X \cap Y$ , pese embora termos usado o conectivo e (também utilizado para definir interseção entre dois conjuntos);
Não confunda, em momento algum a notação $(x,y)$ [para par ordenado] com a notação $\{x,y\}$ (conjunto formado pelos elementos $x$ e $y$ ).
Na realidade $\{x,y\}$ é um elemento de $(x,y)$ .

Produto Cartesiano de Conjuntos — Exemplos e Aplicações

Como exercício, e em jeito de revisão do que foi abordado na Aula 3 BM (30/09/2019), iremos determinar o produto cartesiano $A\times B$ entre os seguintes conjuntos $A$ e $B$ :

$A=\{-1,0,1\}$ e $B=\{2,3\}$ .
$A=\{-1,0,1\}$ e $B=\{x\in \mathbb{Z}~:~\pi < x < 2\pi \}$ .
$A=\{x\in \mathbb{R}~:~x^2-3x=0\}\cup \{2,3\}$ e $B=\{x\in \mathbb{Z}~:~\pi < x < 2\pi \}\cap \{4,5,6\}$ .

Iremos ainda abordar, entre vários exemplos, o exercício 21. do Livro de Exercícios (pp. 12-13):

Estas são as dicas que podem ajudar na resolução de cada item:

Na resolução do item 21. (a), o conjunto $S$ corresponde ao complementar do conjunto $S^c$ — todas as possíveis compatibilidades entre doador e recetor. Note ainda que ao formar o conjunto $S$ , o primeiro elemento $D$ do par ordenado $(D,R)$ corresponde essencialmente às linhas da tabela acima, ao par que o segundo elemento $R$ corresponde às colunas da tabela acima.
No item item 21. (b), é fácil de verificar que $T=\{(O,A),(A,A),(B,A),(AB,A)\}$ , uma vez que o conjunto pretendido — recetor ser pessoa do grupo sanguíneo $A$ — são todos os pares ordenados da forma $(D,A)$ , com $D\in \{O,A,B,AB\}$ .
Pergunta: E se nos fosse pedido o conjunto de todos os pares ordenados, em que o recetor fosse do grupo sanguíneo $A$ (independentemente de haver ou
não compatibilidade). A resposta seria qual?
No item item 21. (c), a interseção de $S \cap T$ é nada mais nada menos que todos os pares ordenados $(D,R)$ da coluna $A$ que não estão marcados com o símbolo $\checkmark$ , ao par que a união $S^c \cup T^c$ (haver compatibilidade ou não ser recetor do grupo sanguíneo $A$ ) pode ser determinado a partir do complementar do conjunto $S \cap T$ . Ou seja, $S^c \cup T^c=(S \cap T)^c=U \setminus (S \cap T)$ .

Depois da explicação acima, será que consegue resolver por você mesmo o exercício 22. do Livro de Exercícios (pp. 13)? A minha dica é que tente, tal como no caso anterior, construir uma tabela semelhante à tabela acima. Caso tenha dúvidas, escreva para o professor ou deixe a sua dúvida em comentário a este post.

Função — Definição, Conjuntos Imagem e Pré-Imagem

Nesta parte da aula, não iremos muito além do que consta no capítulo 6. Generalidades sobre Funções do livro de CAPUTI A. & MIRANDA D. (também indicado no Plano de Ensino).

Entre vários exemplos a serem discutidos, iremos procurar responder graficamente ao exercício 40. do Livro de Exercícios (p. 17) — clique no link https://www.geogebra.org/m/htbsgpsx.

GeoGebra

Caso pretenda resolver graficamente p.e o exercício 36. do Livro de Exercícios (p. 16), veja este vídeo :D.

Aula 2 IPE (30/09/2019)

Em 30 set 20191 out 2019 por nelsonem Aulas1 comentário

Na aula passada focámo-nos essencialmente nos princípios aditivos e multiplicativos de contagem. Olhámos também com especial enfoque para alguns exemplos que constam no Capítulo 1. (Análise Combinatória) do livro de Sheldon Ross para ilustrar os conceitos de permutações e combinações.

Antes de entrarmos propriamente no assunto da aula de hoje (vide Cronograma que se encontra no final da página da disciplina), vamos começar por considerar o seguinte par de problemas:

Combinações vs. Princípio Multiplicativo de Contagem – Motivação para aula de hoje

Exemplo 4a [Ross, p. 21]
Um comitê de três pessoas deve ser formado a partir de um grupo de 20 pessoas.
Quantos comitês diferentes são possíveis?

Modificação Exemplo 4a [Ross, p. 21]
Suponha que foi pedido pelo seu professor de IPE que fossem formados vários grupos de três pessoas. Supondo que na sala constam 20 pessoas, quantas possibilidades existem?

Em ambos os casos estamos a fazer contagens sem reposição, pelo que somos levados a pensar que ambos podem ser resolvidos de modo análogo. No entanto, como irei explicar de seguida, as estratégias de resolução são ligeiramentes diferentes. Passo a explicar:

No primeiro caso, a solução é óbvia — $\left(\begin{array}{cc}20 \\ 3 \end{array}\right)=\dfrac{20\times 19\times 18}{3 \times 2 \times 1}=1140$ [comités possíveis] uma vez que temos de escolher $3$ elementos (pessoas) de $20$ elementos (pessoas), e que a ordem com que são escolhidos.
Para o segundo caso, teremos que recorrer ao princípio multiplicativo de contagem (relembre última aula) por conta dos seguintes fatos:

Não nos é pedido para formar apenas um grupo de $3$ pessoas mas vários grupos de $3$ pessoas;
Em concreto, a partir de um grupo de $20$ pessoas é-nos possível formar $6$ grupos de $3$ pessoas e $1$ (um) grupo de $2$ pessoas, uma vez que $20=6 \times 3 +2$ (algoritmo de Euclides).

Ou seja, temos de realizar um total de $6$ contagens:

Contagem 1: $\left(\begin{array}{cc}20 \\ 3 \end{array}\right)=1140$ (formar o primeiro grupo de 3 pessoas, a partir de 20)
Contagem 2: $\left(\begin{array}{cc}17 \\ 3 \end{array}\right)=680$ (supondo que já se formou o primeiro grupo, temos de formar agora um grupo de 3 pessoas, a partir das $17=20-3$ restantes)
Contagem 3: $\left(\begin{array}{cc}14 \\ 3 \end{array}\right)=364$ (supondo que já se formaram dois (2) grupos de 3 (6 elementos), temos de formar agora um grupo de 3 pessoas, a partir das $14=20-6$ restantes)
Contagem 4: $\left(\begin{array}{cc}11 \\ 3 \end{array}\right)=165$ (supondo que já se formaram três (3) grupos de 3 elementos (9 elementos), temos de formar agora um grupo de 3 pessoas, a partir das $11=20-9$ restantes)
Contagem 5: $\left(\begin{array}{cc}8 \\ 3 \end{array}\right)=56$ possibilidades.
Contagem 6: $\left(\begin{array}{cc}5 \\ 3 \end{array}\right)=10$ possibilidades.

Após $6$ contagens resta-nos apenas um grupo de $2$ alunos que [obviamente] irão formar um único grupo.

Portanto, a solução para o segundo problema é dado pelo produto

$1140 \times 680 \times 364 \times 165 \times 56 \times 10=26 072 766 720 000.$

Combinações vs. Permutações – Princípio Multiplicativo mais uma vez

Passemos agora a aspetos um pouco mais teóricos envolvendo a noções de permutações e combinações. Para tal, vou recorrer por uma questão de simplicidade à notações utilizadas na página 25 do livro de Sheldon Ross & na página 42 do livro Probability and Statistics de Morris H. DeGroot & Mark J. Schervish para denotar os coeficientes multinomiais ( $n=n_1+n_2+\ldots+n_r$ ) já introduzidos no post da aula anterior.

$\left(\begin{array}{cc}n \\ n_1,n_2,\ldots,n_r \end{array}\right):=\dfrac{n!}{n_1!n_2!\ldots n_r!}$

No caso de (divisão de um grupo de elementos em dois grupos distintos de e elementos, respetivamente, é fácil de concluir que
- Os coeficientes binomiais e multinomiais estão relacionados pela sequência de igualdades $\Large \left(\begin{array}{cc}n \\ n_1 \end{array}\right)=\dfrac{n!}{n_1!(n-n_1)!}=\dfrac{n!}{(n-n_2)!n_2!}=\left(\begin{array}{cc}n \\ n_2 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}n \\ n_1,n_2 \end{array}\right)$
- O produto $\left(\begin{array}{cc}n \\ n_1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}n-n_1 \\ n_2 \end{array}\right)$ é igual a
  $\Large \dfrac{n!}{n_1!(n-n_1-n_2)!}~\times \dfrac{(n-n_1)!}{n_2!(n-n_2)!}=\dfrac{n!}{n_1!n_2!}$ .
  (na última igualdade usámos a identidade $(n-n_1-n_2)!=0!=1$ ).
Usando indução sobre o número de divisões possíveis de um conjunto com $n$ elementos ( $r \geq 2$ ), podemos mostrar que qualquer coeficiente multinomial $\left(\begin{array}{cc}n \\ n_1,n_2,\ldots,n_r \end{array}\right)$ pode ser escrito como o produto de $r$ coeficientes binomiais da forma
$\Large \left(\begin{array}{cc}n \\ n_1,n_2,\ldots,n_k \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}n \\ n_1 \end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}n-n_1 \\ n_2 \end{array}\right) \times \left(\begin{array}{cc}n-n_1-n_2 \\ n_3 \end{array}\right)\ldots \times \left(\begin{array}{cc}n-n_1-n_2-\ldots-n_{r-1} \\ n_r \end{array}\right)$ .

Observação: Em termos de coeficientes multinomiais, a solução do exemplo acima (Modificação Exemplo 4a [Ross, p. 21]) pode representada como

$\Large \left(\begin{array}{cc}20 \\ 3,3,3,3,3,3 \end{array}\right)=\dfrac{20!}{3!3!3!3!3!3!}.$

(consegue justificar o porquê?).

Veja também: Exemplo 5d do livro de Sheldon Ross (pp. 26-27).

Como Exercício: Procure explicar a fórmula genérica
$\Large \left(\begin{array}{cc}n \\ n_1,n_2,\ldots,n_r \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}n \\ n_1 \end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}n-n_1 \\ n_2 \end{array}\right) \times \left(\begin{array}{cc}n-n_1-n_2 \\ n_3 \end{array}\right)\ldots \times \left(\begin{array}{cc}n-n_1-n_2-\ldots-n_{r-1} \\ n_r \end{array}\right)$

com base no princípio multiplicativo.

Combinações vs. Permutações vs. Princípio Aditivo/Multiplicativo de Contagem – Mais um exemplo

Voltemos novamente ao último exemplo colocado no post da aula anterior:

Adaptação Exemplo 4a, retirado da minha lista de 2016 ( IPE2016_L2.pdf ):
Considere um grupo de $5$ pessoas, onde constam 3 mulheres e 2 homens.
(a) Se todos apertarem as mãos, quantos cumprimentos teremos?
(b) Quantos beijos teremos nos cumprimentos se as mulheres se beijarem entre si, homens não se beijam e mulheres e homens trocam somente $1$ beijo?

Para o item (a) é óbvio que o número de cumprimentos possíveis é igual a $\Large \left(\begin{array}{cc}5 \\ 2 \end{array}\right)$ , pois não existe reposição (uma pessoa não se cumprimenta a si própria) assim como não interessa a ordem [de quem extende a mão].
Para o item (b), temos $\Large \left(\begin{array}{cc}3 \\ 2 \end{array}\right)=3$ possibilidades de cumprimentos entre mulheres (beijos) e $6=2 \times 3$ cumprimentos entre homens e mulheres (a multiplicação$2 \times 3$ significa que cada mulher (num total de $2$ ) cumprimenta os $3$ homens com $1$ ou beijo).
Logo, por aplicação direta do princípio aditivo de contagem resulta que o número de possibilidades é igual a $9=3 + 6$ .
Note que em (a) não poderíamos usar o raciocínio multinomial, embora obtivéssemos o mesmo resultado: Com efeito temos que $5$ pessoas ( $n=5$ ) é particionado em dois grupos — $2$ pessoas do sexo feminino ( $n_1=2$ ) & $3$ pessoas do sexo masculino ( $n_2=3$ ), o coeficiente multinomial $\Large \left(\begin{array}{cc}5 \\ 2,3 \end{array}\right)= \dfrac{5!}{2!3!}=10$ nos dá o número de permutações possíveis entre os 5 elementos, excluindo as permutações entre elementos do mesmo sexo.

Observação: À semelhança do exemplo inicial deste post, a representação multiplicativa dos coeficientes multinomiais

$\Large \left(\begin{array}{cc}5 \\ 2,3 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}5 \\ 2 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}3 \\ 3 \end{array}\right)$ dá-nos o número de possibilidades de formar dois grupos de pessoas: $1$ grupo de $3$ pessoas & $1$ grupo de $2$ pessoas, independente do sexo (masculino ou feminino).

Teorema Binomial [e Multinomial]

Imagem retirada do Livro de Exercícios de Bases Matemáticas (p. 27)

A identidade binomial

$(x+y)^n=\displaystyle \sum_{k=0}^n\left(\begin{array}{cc}n \\ k \end{array}\right) x^k y^{n-k}$

tem a seguinte interpretação combinatória para $x=y=1$ (vide triângulo de Pascal da figura acima)

$2^n$ corresponde à soma de todos os coeficientes binomiais $\left(\begin{array}{cc}n \\ k \end{array}\right)$ ( $k=0,1,\ldots,n$ ) associados à linha $n$ .
$2^n$ dá-nos o número de possibilidades para subconjuntos $S$ de um conjunto $N$ com $n$ elementos, ao par que $\left(\begin{array}{cc}n \\ k \end{array}\right)$ dá-nos o número de possibilidades de encontrar um subconjunto $S$ de $N$ com $k$ elementos.
A identidade binomial associada à soma $\left(\begin{array}{cc}n \\
k
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}n-1 \\
k-1
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}n-1 \\
k
\end{array}\right)$ nos permite ainda a seguinte interpretação:
- $\left(\begin{array}{cc}n-1 \\ k-1 \end{array}\right)$ dá-nos o número possibilidades de escolher $k$ objetos num conjunto de $n$ , supondo que o primeiro já foi escolhido.
- Supondo que já escolhemos o primeiro objeto, $\left(\begin{array}{cc}n-1 \\ k \end{array}\right)$ dá-nos o número de possibilidades de escolher $k$ objetos, excluíndo o primeiro objeto escolhido.

Para o caso da identidade multinomial

$(x_1+x_2+\ldots+x_r)^n=\displaystyle \sum_{k=0}^n \sum_{n_1+n_2+\ldots+n_r=k} \left(\begin{array}{cc}n \\ n_1,n_2,\ldots,n_r \end{array}\right) x_1^{n_1}x_2^{n_2}\ldots x_r^{n_r}$

$r^n$ dá-nos o número de possibilidades de distribuir $n$ objetos por $r$ ‘caixas’ distintas.
Supondo que todo o $n_i>0$ , o coeficiente binomial $\left(\begin{array}{cc}k-1 \\ r-1 \end{array}\right)$ dá-nos o número de soluções [positivas] possíveis da equação $n_1+n_2+\ldots+n_r=k$
Pergunta: No total, quantos coeficientes binomiais cuja soma é $n_1+n_2+\ldots+n_r=k$ aparecem na soma acima? ( $n_i\geq 0$ ).

Soluções Inteiras de Equações

Esta parte da aula será dedicada à aplicação dos resultados discutidos no item anterior.

Em particular, pretendemos resolver o seguinte exercício que se encontra na minha lista IPE2016_L2.pdf de 2016:

O Gabriel pretende aplicar os 35 mil reais que tem depositados na sua conta do Banco
Itaú em 4 carteiras diferentes de investimento– $C1, C2, C3$ e $C4$ , respetivamente. Cada aplicação deve ser feita em múltiplos de mil reais, e os investimentos mínimos que podem ser feitos são de (m + 1)- mil reais, onde m é o índice da carteira de investimento $C_m$ .
(a) Quantas estratégias de aplicação nos 4 fundos de investimento existem?
Sugestão: Determine o numero de soluções inteiras positivas da equação
$x1 + x2 + x3 + x4 = 35$ .
(b) Determine o numero de estratégias de aplicação possíveis, no caso de pretender fazer a aplicação mínima na carteira de investimento $C_4$ .
(c) Determine o numero de estratégias de aplicação possíveis, no caso de pretender fazer a aplicação mínima nas carteiras de investimento $C2$ e $C3$ .

Newsletter Especial, Setembro 2019

Em 27 set 201927 set 2019 por nelsonem NewslettersDeixe um comentário

“A matemática não é para ser fácil, não é para ser rápida. A paciência e a persistência são qualidades muito preciosas para a matemática. Na verdade, para a vida. Mas na matemática, se você não tiver paciência, persistência, você cai”.

Carolina Araújo, pesquisadora titular do IMPA

Olá a todos!

Esta é uma newsletter de boas vindas que já vem sendo preparada à algum tempo, e que é apenas publicada um dia após o evento UFABC para Todos (em que não houve aula). Esta será dedicada a todos os alunos que irão cursar comigo, no 3º Quadrimestre de 2019, as disciplinas de Bases Matemáticas & Introdução à Probabilidade e Estatística [no Campus de São Bernardo do Campo].

Os temas a serem tratados serão os seguintes:

Introdução à Probabilidade e Estatística – 3 anos depois
Porque continua a ser desafiante ministrar a disciplina de Bases Matemáticas?
A importância do raciocínio [matemático]
Como [aprender a] mentir com estatística(s)?

Introdução à Probabilidade e Estatística – 3 anos depois

190909_r34914-1 — Imagem retirada do matéria *What Statistics Can and Can’t Tell Us About Ourselves* (New Yorker, 02 de setembro de 2019) que servirá de layout à página da disciplina.

Esta será a 2ª vez que irei ministrar esta disciplina na UFABC. A 1ª vez que ministrei — ano de 2016 — coincidiu com o meu ingresso na UFABC, e com a minha mudança de residência, de Campinas para São Paulo (cidade). O aluno mais atento irá, por exemplo, irá constatar este fato ao ler alguns exercícios que constam na Lista 2 [de 2016].

Sendo que esta foi a primeira vez que ministrei este tipo de disciplina, procurei ser um pouco alternativo, criando exercícios um pouco “fora da caixa”, como os que cairam na Prova 2 (de Agosto de 2016).

Este tipo de abordagem — em aulas e provas — captou alguns adeptos mas, mesmo assim, reconheço que não foi a mais indicada por vários fatores. Um deles prende-se com o escasso número de aulas para trabalhar os conteúdos programáticos da disciplina, em particular as estratégias necessárias para resolução de problemas. Para tentar contornar este fato, foram reservadas [no cronograma] duas aulas, exclusivamente dedicadas à resolução de exercícios.

Eventualmente, e à semelhança do que fiz na primeira aula, irei continuar a utilizar este espaço para ir postando resumos e alguns problemas que considere ser pertinentes. Em particular nas semanas ímpares do quadrimestre, em que apenas teremos uma aula semanal.
Sigam, portanto, a categoria Aulas e a tag # Introdução à Probabilidade e Estatística para estarem a par das novidades.

Porque continua a ser desafiante ministrar a disciplina de Bases Matemáticas?

Imagem retirada da matéria *New Proof Solves 80-Year-Old Irrational Number Problem* (Scientific American, 16 de setembro de 2019). Esta servirá de layout à página da disciplina de Bases Matemáticas.

Esta será a 5ª vez que irei ministrar esta disciplina na UFABC. Na 1ª vez que ministrei esta procurei entender porque razão esta é uma das disciplinas com maior índice de reprovação, assim como procurei entender o perfil de aluno que entra na UFABC vindo do ensino público. À altura escrevi um prefácio detalhado, tendo como mote as celebrações do 10º aniversário da UFABC. Esta foi também a primeira vez que fiz uso do GeoGebra em sala de aula.
Mesmo com as mudanças de relevo que foram incluídas na abordagem em sala de aula, que incluiram o início da produção do Livro de Exercícios de Bases Matemáticas (ainda em construção), posso dizer que os resultados estão ainda longe do esperado. As discussões levadas a cabo com alguns dos docentes (em privado e em reuniões plenários) me levaram a crer a dificuldade de estabelecer um consenso sobre a forma com que o programa deve ser executado de forma a corresponder às expectativas dos alunos. Em particular, dos alunos do BC&H.
Mesmo assim, irei-me manter fiel ao meu Plano de Ensino, o qual considero ser o mais desafiador para os alunos que cursam Bases Matemáticas.
A menos de algumas adaptações, este será dividido em duas partes (que coincidem com a divisão do Livro de Exercícios de Bases Matemáticas):

Fundamentos da Matemática
Pré-Cálculo

Esta divisão foi estrategicamente pensada de modo a conferir, na primeira parte do quadrimestre, um primeiro contato com o formalismo matemático (em particular, teoria de conjuntos e indução matemática), e na segunda parte do curso uma preparação para quem vá cursar posteriormente Funções de Uma Variável.
As principais diferenças entre o o meu Plano de Ensino e da maioria dos docentes são as seguintes:

Lógica matemática não é um tópico específico da matéria — será diluída ao longo do quadrimestre;
Duas aulas dedicadas a teoria de conjuntos & duas aulas dedicadas a indução matemática (num total de quatro) — pelo que constei, maioria dos docentes aborda estes temas em 2-3 aulas;
Ao contrário dos restantes docentes, introduzo produto cartesiano de conjuntos e posteriormente a noção abstrata de função, como subconjunto do produto cartesiano entre dois conjuntos (ou se quiserem, introduzirei diretamente a noção de função com base no seu gráfico);
Técnicas de demonstração (redução ao absurdo e contraposição) serão abordadas em paralelo com números reais;
De equações & inequações em diante o meu programa se aproxima continuamente do programa da maioria dos docentes — foram reservadas, no final, 5 aulas para limites.

Quando ministrei esta disciplina no ano passado (2º quadrimestre 2018), fiz duas postagens sobre aplicações em Indução Matemática e Redução ao Absurdo, que podem ser encontradas facilmente via a tag #Bases Matemáticas. Caso se venha a proporcionar, irei continuar com as publicações, à semelhança do que fiz na primeira aula.

A importância do raciocínio [matemático]

No dia 14 de setembro de 2019, foi partilhado na página de Facebook da The Royal Society este vídeo interessantíssimo. Como legenda a este foi colocada a seguinte questão:

O que é preconceito inconsciente e por que pedimos que todos os membros de nosso comitê e painel assistam a este vídeo para combatê-lo?

Uma das questões colocadas no vídeo prende-se com um problema matemático, que consiste em determinar o preço de uma bola de basebol, sabendo que o preço total da bola e do bastão [de basebol] é de 1,10 libras esterlinas, e que o bastão custa 1 libra [esterlina] a mais que a bola.
O que é dito no vídeo é que a grande maioria da população irá afirmar prontamente que a bola custa 10 pounds (0,10 libras), o que é errado!
Se, ao invés tivéssemos procurado equacionar o problema, teríamos chegado às duas equações

$x+y=1,10$ e $y=1,00+x$ ,

onde $x$ denota o preço da bola e $y$ o preço do bastão.
Ao resolvermos o sistema de equações acima, chegaríamos na solução $x=0,05$ (libras).

Como [aprender a] mentir com estatística(s)?

Histograma retirado da notícia *Desemprego cai pelo 2º trimestre consecutivo e PIB é o dobro do esperado* (03 de setembro de 2019).

Quem navega pelo éter da blogosfera e redes sociais, poderá ainda encontrar outro tipo de exemplos semelhantes ao que dei no tópico anterior, assentes em leituras enviesadas de dados estatísticos. Sem querer entrar em discussões políticas, gostaria de vos dar um outro exemplo baseado no título da seguinte notícia que surgiu no site https://editalconcursosbrasil.com.br:

Desemprego cai pelo 2º trimestre consecutivo e PIB é o dobro do esperado

Se nos ficássemos apenas pelo título da notícia, estaríamos muito otimistas. No entanto, se nos dermos ao trabalho de ler a notícia em detalhe –incluindo o histograma (vide figura acima, Fonte IBGE) — iremos verificar que o valor mínimo do desemprego foi atingido no final de 2018 e não nos valores dos últimos dois trimestres, e que o crescimento do PIB (0,4%) superou o esperado (que era de 0,2%).
Outra pessoa teria pensado, com um certo sarcasmo numérico, que o valor do crescimento estaria dentro do esperado,ou ‘muito acima do esperado’, pois se arredondássemos ambos os valores às unidades, obteríamos 0%. E, como devemos saber, qualquer número $p$ multiplicado por $0$ dá sempre zero, independentemente de ser infinitamente grande ou infinitesimalmente pequeno, se é que me fiz entender …
Este tipo de erro é muito comum se tentarmos quantificar a nossa informação em termos porcentuais. Para ter um pouco de noção, procure resolver o seguinte problema:

Suponha que você paga atualmente 100 reais de conta de energia. Durante os próximos três anos a companhia de energia decide aumentar, ano após ano, o valor da sua conta em 10% para financiar usinas. E no quarto ano a empresa decide te dar um desconto de 30% para compensar o aumento de 30% nos últimos três anos (10% vezes 3 anos). Quanto você irá pagar de conta de energia ao fim de 4 anos?

[a resposta correta é — pasme-se — 119 reais e 79 centavos ( $119,79=100 \times (1+0,10)^3 \times (1-0,10)$ )].

Caso ainda não estejam convencidos sobre a importância deste tipo de raciocínio, convido-vos a pesquisarem na internet sobre o famoso Paradoxo de Simpson (que em nada tem a ver com a série americana). Aos leitores mais curiosos, recomendo ainda o livro How to lie with statistics.

Bem, por agora é tudo. Votos de um ótimo quadrimestre!

Aula 3 BM (30/09/2019)

Em 25 set 201927 set 2019 por nelsonem Aulas1 comentário

[ADENDA: Este é o resumo da aula da próxima 2ª feira, dia 30 de setembro. Esta 5ª feira, dia 26/09/2019 não haverá aula, em virtude do evento UFABC para Todos, que este ano calha no mesmo dia de aniversário do vosso professor! 😀 ]

Após uma primeira aula mais dedicada à introdução de noções elementares sobre teoria de conjuntos, a aula de hoje será dedicada à resolução de exercícios envolvendo operações entre conjuntos, já introduzidos no final do post da Aula 1 BM (23/09/2019).

Revisão da aula anterior

Primeiramente, comece por revisar alguns dos conceitos que aprendeu na aula anterior, procurando resolver responder às seguintes perguntas (em casa):

Ao resolver o Exercício 2. do Livro de Exercícios (página 9) conseguiu chegar na conclusão que:
1. $X=C$ e $X=E$ são os únicos conjuntos que satisfazem a condição $X \cap B=\emptyset$ ?
2. $X=D$ e $X=E$ são os únicos conjuntos que satisfazem a condição $X \subseteq D$ e $X \not\subseteq B$ ?
3. $B$ e $D$ são os únicos conjuntos que satisfazem $X \subseteq A$ e $X \not\subseteq C$ ?
Consegue verificar quais dos conjuntos abaixo têm seis elementos (i.e. cardinalidade )?
1. $\{b,r,a,s,i,l\}$
2. $\{\{b,r,a,s,i,l\}\}$
3. $\{b,r,a,\{s\},\{i,l\}\}$
4. $\{b,r,a,\{s\},\{i\},\{i,l\}\}$
5. $\{b,r,a,\{s\},\{i\},\{i,l\}\}$
6. $\{b,r,a,\{s\},\{i\},\{i,l\},\{\emptyset\}\}$
Consegue verificar se $\pi$ e $2\pi$ são elementos do conjunto $B=\{x~:~x\in \mathbb{Z}~\mbox{e}~\pi \leq x \leq 2\pi \}$ ?
Consegue determinar, para que valores de $a$ , o conjunto $\{x~:~x\in \mathbb{R}~\mbox{e}~x^2-a=0\}$ é vazio?
Consegue determinar todos os elementos do conjunto $\Large \mathcal{P}(\{-1,0,1\})$ ?
Para qualquer conjunto $A$ , será que existe um conjunto $\mathcal{B}$ tal que $\emptyset \not \in \mathcal{B}$ e $\mathcal{P}(A)\subseteq \mathcal{B}$ ?

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Aula 1 BM (23/09/2019)

Em 23 set 201925 set 2019 por nelsonem Aulas2 Comentários

Súmula dos assuntos a serem tratados na primeira aula de Bases Matemáticas:

Notações:

Iremos utilizar as letras maiúsculas $A,B,C,\ldots,X,Y,Z$ para denotar conjuntos;
Iremos usar a notação $x \in X$ para dizer que $x$ é um elemento de $X$ . Caso contrário, escreveremos $x\not \in X$ ;
Iremos usar o símbolo $\emptyset$ para denotar o conjunto vazio e o símbolo $\mathbb{U}$ para denotar o conjunto universo.
As letras minúsculas $a,b,c,\ldots,x,y,z$ serão reservadas para denotar os elementos de um conjunto;
Iremos usar o símbolo $\Longrightarrow$ para denotar implicação, e a notação $P \Longrightarrow Q$ para dizer que a proposição/propriedade $P$ implica a proposição/propriedade $Q$ , (i.e. se $P$ é verdadeira então $Q$ também é verdadeira.).
Iremos usar o símbolo $\Longleftrightarrow$ para denotar equivalência, e a notação $P \Longleftrightarrow Q$ para dizer que a proposição/propriedade $P$ é equivalente à proposição/propriedade $Q$ , (i.e. se $P$ é verdadeira se, e somente se, $Q$ também é verdadeira.).
Iremos usar o quantificador universal $\forall$ sempre que $P(x)$ for verdadeira para todo o $x$ e o quantificador existencial $\exists$ sempre que $P(x)$ for verdadeira para pelo menos um elemento $x$ .

Definições:

Por conjunto devemos subentender:
- (Definição informal) uma lista [enumerável] de elementos listados dentro dos colchetes $\{$ & $\}$ .
- (Definição formal) $X=\{x~:~P(x)\}$ (o conjunto de todos os elementos $x$ para que satisfazem a propriedade $P$ i.e. $P(x)$ ).
Um conjunto pode ser vazio ou não vazio:
- Dizemos que $X$ é não vazio, e escrevemos $X \neq \emptyset$ , se este possui pelo menos um elemento $x$ , ou seja
  $\exists x~:~x \in X$ (existe pelo menos um $x \in X$ );
- Dizemos que $X$ é vazio, e escrevemos $X =\emptyset$ , se este não possui qualquer elemento, isto é,
  $\forall x~~x\not \in X$ (i.e. para todo o elemento $x$ se verifica $x\not \in X$).
- Em termos formais:
  $X\neq \emptyset \Longleftrightarrow \exists x~:~P(x)$
  (existe pelo menos um $x$ para qual a propriedade $P$ é satisfeita).
  $X= \emptyset \Longleftrightarrow \forall x~~\mbox{n\~ao}(P(x))$
  (todo o elemento $x$ não satisfaz a propriedade $P$ ).

Inclusões e igualdades de conjuntos:

O conjunto $X$ é um subconjunto de $Y$ (e escrevemos $X \subseteq Y$ ) se
$\forall x~~(x\in X \Longrightarrow x \in Y)$ ;
O conjunto $X$ não é um subconjunto de $Y$ (e escrevemos $X \not \subseteq Y$ ) se
$\exists x~:~x\in X ~~\mbox{e}~~ x \notin Y$ ;
O conjunto $X$ é igual ao conjunto $Y$ (e escrevemos $X = Y$ ) se $X \subseteq Y$ e $Y \subseteq X$ , ou equivalentemente
$\forall x~~(x\in X ~~\Longleftrightarrow~~ x \in Y)$ .
Caso $X \not \subseteq Y$ ou $Y \not \subseteq X$ , dizemos que os conjuntos $X$ e $Y$ não são iguais ( $X \neq Y$ ).

Conjunto das Partes:

O conjunto das partes de $Y$ é o conjunto formado por todos os possíveis subconjuntos de $Y$ ;
Formalmente, este conjunto é definido por
$\mathcal{P}(Y)=\{X~:~X\subseteq Y\}$
(i.e. $X \in \mathcal{P}(Y)\Longleftrightarrow X\subseteq Y$ );
Algumas observações:
- $\emptyset$ e $\mathbb{U}$ são elementos de $\mathcal{P}(\mathbb{U})$ pois $\emptyset \subseteq \mathbb{U}$ e $\mathbb{U}\subseteq \mathbb{U}$ ;
- $\mathcal{P}(\emptyset)$ é não vazio ao contrário de $\emptyset$ , uma vez que $\emptyset \subseteq \emptyset$ . Este conjunto é igual a $\mathcal{P}(\emptyset)=\{\emptyset\}$ .

Operações entre conjuntos:

A união dos conjuntos $A$ e $B$ ( $A \cup B$ ) é definida por
$A \cup B=\{x~:~x\in A~~\mbox{ou}~~x\in B\}$
(i.e. $x$ é um elemento de $A \cup B$ se é um elemento de pelo menos um dos conjuntos $A$ ou $B$ );
A interseção dos conjuntos $A$ e $B$ ( $A \cap B$ ) é definida por
$A \cap B=\{x~:~x\in A~~\mbox{e}~~x\in B\}$
(i.e. $x$ é um elemento de $A \cap B$ se é simultaneamente um elemento de ambos os conjuntos $A$ e $B$ );
O complementar do conjunto $A$ ( $A^c$ ) é definido por
$A^c=\{x~:~x\not\in A\}$
(i.e. $x$ não é um elemento de $A$ );
Usando as operações definidas anteriormente podemos ainda definir as operações diferença de conjuntos ( $A\setminus B=A \cap B^c$ ) e diferença simétrica de conjuntos ( $A~\Delta~ B=(A \setminus B) \cup (B\setminus A)$ ).

Propriedades envolvendo operações entre conjuntos:

A tabela que se encontra na página 10 do Livro de Exercícios resume algumas das propriedades elementares, envolvendo os conjuntos $X,Y$ e $Z$ (incluindo os casos do conjunto universo $\mathbb{U}$ e do conjunto vazio $\emptyset$ ).

Aula 1 IPE (23/09/2019)

Em 23 set 201924 set 2019 por nelsonem Aulas2 Comentários

Este primeiro post corresponde a uma súmula das definições e exemplos a tratar/tratados na Aula 1:

Princípio aditivo de contagem:

Sejam $A_1,A_2,\ldots,A_r$ uma coleção de $r$ experimentos independentes dois a dois (i.e $A_i \cap A_j=\emptyset$ para $i\neq j$ ) com $n_i:=|A_i|$ elementos cada ( $i=1,2,\ldots,n$ ).

Então, o número de elementos $n$ de $A_1\cup A_2 \cup \ldots \cup A_r$ é dado pela soma

$\Large n=n_1+n_2+\ldots+n_r$

Princípio multiplicativo de contagem:

Sejam $A_1,A_2,\ldots,A_r$ uma coleção de $r$ experimentos sucessivos com $n_i:=|A_i|$ elementos cada ( $i=1,2,\ldots,n$ ).

Então, o número de elementos $n$ de $A_1\times A_2 \times \ldots \times A_r$ é dado pelo produto

$\Large n=n_1 n_2\ldots n_r$

Observações:

A cardinalidade do conjunto $B$ , denotada por $|B|$ , corresponde ao número de realizações do evento $B$ .
Enquanto o princípio aditivo de contagem está associado à união finita de conjuntos disjuntos $2$ a $2$ , o princípio multiplicativo de contagem está associado ao produto de cartesiano de $r$ conjuntos não necessariamente independentes.

Exemplos (Princípio aditivo de contagem):

Como determinar as preferências de leitura de uma população?
Em determinada cidade, uma população de leitores foi inquirida sobre as suas preferências relativamente a três jornais diários, , e . Os resultados obtidos foram os seguintes:

$\Large \begin{tabular}{|l|c|c} \hline Revista & N\'umero de Leitores \\ \hline A & 98\\ B & 229 \\ C & 121 \\ A e B& 51 \\ A e C &37 \\ B e C &60 \\ A e B e C & 24 \\ \hline \end{tabular}$

Determine o número de leitores que leem:
1. Somente os jornais $A$ e $C$ .
2. Pelo menos um dos jornais.
3. Nenhum dos jornais.
Como utilizar o princípio básico de contagem para mostrar que a informação abaixo é incorreta?
Os seguintes dados foram obtidos em uma pesquisa feita
com $1000$ entrevistados: $312$ profissionais liberais, $470$ pessoas casadas, $525$ pessoas com superior completo, $42$ profissionais liberais com superior
completo, $147$ pessoas casadas com superior completo, $86$ profissionais liberais casados e $25$ profissionais liberais casados com curso superior completo.

DiagramasVennEuler — **Dica:** Tente reformular ambos os problemas acima em termos de um diagrama de Venn-Euler semelhante ao da figura.

Exemplos (Princípio multiplicativo de contagem):

Os exemplos abaixo encontram-se na página 17 da versão traduzida do livro de Sheldon Ross entitulado PROBABILIDADE Um curso moderno com aplicações:

Exemplo 2b, Livro Ross: O grêmio de uma faculdade é formado por 3 calouros, 4 estudantes do segundo ano, 5 estudantes do terceiro ano e 2 formandos. Um subcomitê de 4 pessoas, formado por uma pessoa de cada ano, deve ser escolhido. Quantos subcomitês diferentes são possíveis?
Exemplo 2c, Livro Ross: Quantas diferentes placas de automóvel com 7 caracteres são possíveis se os três primeiros campos forem ocupados por letras e os 4 campos finais por números?
Exemplo 2e, Livro Ross: No Exemplo 2c, quantas placas de automóvel seriam possíveis se a repetição entre letras ou números fosse proibida?

O exemplo abaixo correspondem a uma reformulação do Exemplo 2d do livro de Ross:

Reformulação Exemplo 2d, Livro Ross: Quantas funções definidas em conjuntos de domínio $A$ com $n$ pontos são possíveis se cada valor da função
for igual a $-1,0$ ou $1$ , e nenhuma destas coincidir com a função sinal $\mbox{sgn}:A\rightarrow\{-1,0,1\}$ ?

Permutações e Combinações:

O fatorial de $n$ ( $n!$ ) dá-nos o número de permutações de $n$ elementos diferentes.
No caso de $A$ ser um conjunto $n$ objetos que pode ser particionado em $r$ subconjuntos $A_1,A_2,\ldots,A_r$ de cardinalidade $n_k$ ( $k=1,2,\ldots,r$ ), então o quociente $\Large \dfrac{n!}{n_1! n_2! \ldots n_r!}$ dá-nos o número de permutações de $n$ elementos agrupados em $r$ subconjuntos diferentes.
No caso particular do conjunto $A$ de $n$ elementos ser particionado em $2$ subconjuntos com $k$ e $n-k$ elementos, respetivamente, tem-se que $\Large \left(\begin{array}{cc}n \\ k \end{array}\right)=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$ representa o número de combinações possíveis de $n$ objetos em grupos de $k$ elementos de cada vez.

Exemplos (Permutações):

Começemos com os seguintes exemplos adaptados da minha lista de 2016 ( IPE2016_L2.pdf ):

(Anagramas sem repetição de letras): Quantos anagramas pode formar com as letras da palavra ROMA & UTINGA?
(Anagramas com repetição de letras): Quantos anagramas pode formar com as letras das palavras MAUA, JABAQUARA, TAMANDUATEI e JURUBATUBA?

De seguida passemos a alguns exemplos que se encontram na página 18 da versão traduzida do livro de Sheldon Ross entitulado PROBABILIDADE Um curso moderno com aplicações:

Exemplo 3b
Uma turma de teoria da probabilidade é formada por 6 homens e 4 mulheres.
Aplica-se uma prova e os estudantes são classificados de acordo com o seu desempenho.
Suponha que nenhum dos estudantes tenha tirado a mesma nota.
(a) Quantas diferentes classificações são possíveis? [permutações entre todos os elementos da turma]
(b) Se os homens forem classificados apenas entre si e as mulheres apenas
entre si, quantas diferentes classificações são possíveis? [permutações envolvendo apenas pessoas do mesmo sexo]
Exemplo 3c [análogo a (b)]
A Sra. Jones possui dez livros que pretende colocar em sua prateleira. Destes,
quatro são de matemática, três são de química, dois são de história e um é um
livro de línguas. A Sra. Jones deseja arranjá-los de forma que todos os livros
que tratam do mesmo assunto permaneçam juntos na prateleira. Quantos diferentes arranjos são possíveis?

Exemplos (Combinações):

Para finalizar este post, considere as seguintes adaptações dos exemplos envolvendo Combinações que se encontram na página 21 do livro de Ross (mencionado acima):

Adaptação Exemplo 4a:
Se na turma de IPE tivermos $35$ alunos inscritos, quantas possibilidades existem de eleger $2$ alunos representantes da turma?
Adaptação Exemplo 4a, retirado da minha lista de 2016 ( IPE2016_L2.pdf ):
Considere um grupo de $5$ pessoas, onde constam 3 mulheres e 2 homens.
(a) Se todos apertarem as mãos, quantos cumprimentos teremos?
(b) Quantos beijos teremos nos cumprimentos se as mulheres se beijarem entre si, homens não se beijam e mulheres e homens trocam somente $1$ beijo?

Newsletter #3, Agosto de 2018

Em 7 ago 20188 ago 2018 por nelsonem NewslettersDeixe um comentário

Por questões de falta de tempo, não poderei escrever a Newsletter #3 (de agosto) como fiz nos meses anteriores.

Deixo aqui apenas algumas notas de destaque:

O simpósio que organizei na UFABC foi um sucesso! Obviamente que não me refiro ao número de participantes mas às ideias que ficaram. Duas possíveis direções de pesquisa colocadas envolvem diretamente a hipótese de Riemann (colocada por Zouhair Mouayn) & a conjetura de Lax em dimensões superiores (colocada por Pedro Lauridsen). A seu tempo irei falar aqui sobre elas.
Medalhas fields de Matemática foram atribuídas no Rio a 01 de agosto. No site do IMPA podem encontrar uma descrição sucinta das contribuições de cada um dos laureados https://impa.br/page-noticias/researchers-from-germany-india-iran-and-italy-take-home-the-2018-fields-medal/.

Por agora é tudo!

Nelson

#Problema do Mês de Julho: Determinante de uma Matriz.

Em 28 jul 20189 jul 2018 por nelsonem ProblemasDeixe um comentário

No problema do mês de julho, vamos mostrar como podemos aplicar o Teorema do Valor Intermediário (ensinado em Funções de Uma Variável e demais disciplinas de Análise Real) para estudar um dos problemas recorrentes em Álgebra Linear:

Cálculo do determinante de uma matriz quadrada.

Problema:

Suponhamos que $A$ é uma matriz $n \times n$ sobre o corpo dos reais que satisfaz a equação

$A^3=cA+I_n$ ,

onde $I_n$ denota a matriz identidade.

Prove que para $c\geq 1$ , se tem $\det(A)>0$ .
Determine os possíveis valores para $\det(A)$ .

Resolução:

Comecemos por observar que $A$ é uma matriz invertível. De fato, as equações

$AB=BA=I_n$

são satisfeitas para $B=A^2-cI_n$ , donde $A^{-1}=A^2-cI_n$ , donde se conclui que $det(A) \neq 0$ . Adicionalmente, usando as propriedades dos determinantes podemos obter a sequência de identidades:

$\dfrac{1}{det(A)}=det(A^{-1})=det(A^2-cI_n)=\det(A+\sqrt{c}I_n)\det(A-\sqrt{c}I_n)$ .

Denotando por $p(\lambda)=det(A-\lambda I_n)$ o polinômio caraterístico de $A$ , obtemos que a igualdade anterior pode ser expressa pela equação polinomial

$\dfrac{1}{p(0)}=p(-\sqrt{c})p(\sqrt{c}).$

Portanto, provar que $det(A)>0$ é equivalente a provar:

que $p(0)>0$ (por definição de $p(\lambda)$ );
$p(-\sqrt{c})$ e $p(\sqrt{c})$ têm o mesmo sinal (pela equação anterior).

Observação #1: A construção acima baseia-se no fato de $A^2-cI_n=$ admitir a fatoração $A^2-cI_n=(A+\sqrt{c}I_n)(A-\sqrt{c}I_n)$ . Para valores de $c<0$ , esta fatoração seria impossível, uma vez que o polinômio caraterístico $\lambda^2-c$ não admite raizes reais.

Provemos agora que $det(A)>0$ , por redução ao absurdo.

Vamos supor que a inequação $\det(A)> 0$ não é sempre satisfeita. Pelo simples fato de $A$ ser uma matriz invertível, isto equivale a termos $p(0)=\det(A)<0$ .

Ora, pelo simples fato de $p(\lambda)$ — polinômio mônico de grau $n$ — ser uma função contínua no intervalo fechado $[-\sqrt{c},\sqrt{c}]$ , e de $p(-\sqrt{c})p(\sqrt{c})<0$ , o teorema de Bolzano (variante do teorema do valor intermediário para funções contínuas) nos garante que a equação

$p(\lambda)=0$

é satisfeita para algum $-\sqrt{c}<\lambda<\sqrt{c}$ . Logo, é possível encontrar um vetor não nulo $v$ tal que a equação $A v=\lambda v$ é satisfeita para valores de $\lambda$ no intervalo aberto $]-\sqrt{c},\sqrt{c}[$ .

Em particular, da igualdade $A^3=cA+I_n$ resulta que

$\lambda^3=c\lambda+1$ .

Ora como $p(0)\neq 0$ , existe apenas duas possibilidades:

Ou $\lambda$ se encontra no intervalo aberto $]-\sqrt{c},0[$
Ou $\lambda$ se encontra no intervalo aberto $]0,\sqrt{c}[$ .

Note-se ainda que:

A equação anterior é equivalente a termos $-\lambda(c-\lambda^2)=1$ .
Em ambos os casos, temos que $0<c-\lambda^2<c$ , pelo que a igualdade anterior é apenas verdadeira para valores de $\lambda<0$ .

Destas duas últimas observações, concluímos que as soluções de $p(\lambda)$ se encontram no intervalo aberto $]-\sqrt{c},0[$ , pelo que

$-\lambda=\dfrac{1}{c^2-\lambda},$

o que é absurdo, uma vez que a constante $-\lambda$ pertence ao intervalo $]0,\sqrt{c}[$ , $\dfrac{1}{c^2-\lambda}$ pertence ao intervalo $]c,+\infty[$ e

$]0,\sqrt{c}[ \cap ]c,+\infty[=\emptyset$

para valores de $c\geq 1$ .

O absurdo resultou em supor que $det(A)<0$ . Do absurdo, concluímos que $det(A)>0$ é sempre satisfeita.

Observação #2: Para valores de $0<c<1$ , não é possível obter uma contradição, uma vez que $]0,\sqrt{c}[ \cap ]c,+\infty[=]c,\sqrt{c}[$ .

#Notas Soltas: Redução ao Absurdo e Indução Fraca

Em 15 jul 201816 jul 2018 por nelsonem ProblemasDeixe um comentário

Neste post pretendo complementar o que já foi feito ao longo das aulas de Bases Matemáticas, quando foi ensinado a técnica por ~~indução~~ redução ao absurdo.

Começamos por um problema que envolve estimativas para a soma de $n$ números inteiros.

Problema

Se para cada $n\geq 2$ natural, temos que a soma dos $n$ números inteiros $a_1,a_2,\ldots,a_n$ é tal que

$a_1+a_2+\ldots+a_n \geq 19 n,$

então pelo menos um dos $a_i$ ( $i=1,2,\ldots,n$ ) é maior que $18$ .

Resolução

A resolução deste problema pode ser realizada, combinando indução matemática com redução ao absurdo:

CASO BASE ( $n=2$ )

Para provar que para $n=2$ se tem a implicação

$a_1+a_2\geq 38 \implies a_1> 18$ ou $a_2> 18$ ,

comece por assumir, por redução ao absurdo que

$a_1+a_2\geq 38$ & $a_1\leq 18$ e $a_2\leq 18$ .

Usando propriedades elementares de números reais, segue que

$36 \geq a_1+a_2\geq 38$ .

e, em particular, que $36 \geq 38$ , o que é absurdo (complete aqui com a sua justificativa).

PASSO INDUTIVO ( $n=k \implies n=k+1$ )

Por hipótese de indução, comece por supor que $a_1+a_2+\ldots+a_k \geq 19 k$ implica que pelo menos um dos $a_i$ ( $i=1,2,\ldots,k$ ) seja maior que $18$ .

Seja $b=a_1+a_2+\ldots+a_k$ . Suponha agora, por redução ao absurdo, que

$b+a_{k+1}\geq 19(k+1)$ & $a_{i}\leq 18$ .

para todos os $i =1,2,\ldots,k+1$ .

Segue então em particular que $b+a_{k+1}\leq b+18$

e, consequentemente a dupla desigualdade

$b+18\geq b+a_{k+1}\geq 19(k+1)$ .

Da dupla desigualdade acima concluímos, em particular, que $b+18\geq 19(k+1)$ .

Obtemos assim que $b\geq 19k+1>19k$ .

Usando agora a hipótese de indução, temos que a condição $b>19k$ implica, em particular, que pelo menos um dos $a_i'$ s é maior que $18$ , o que contraria o fato assumido por absurdo (todos os $a_i's$ são menores ou iguais $18$ ).

Observação:

Vejamos agora como o mesmo tipo de estratégia pode ser aplicado para provar propriedade abaixo. Iremos em particular recorrer à desigualdade triangular e à sua generalização indutiva (Exercícios 82. (c) & 86. (b) do livro de exercícios):

Se a soma de $n$ números reais satisfaz a condição de módulo

$|a_1+a_2+\ldots+a_n|>n$

então pelo menos um dos $a_i$ ‘s satisfaz a condição $|a_i|>1$ .

Para $n=1$ a demonstração é deveras trivial. A técnica de redução ao absurdo apenas faz sentido de ser aplicada para o caso de $n\geq 2$ :

Com efeito, se as inequações $|a_1+a_2+\ldots+a_n|>n$ e $|a_i|\leq 1$ ( $i=1,2,\ldots,n$ ) fossem satisfeitas, poderíamos provar indutivamente que

$n<|a_1+a_2+\ldots+a_n|\leq |a_1|+|a_2|+\ldots+|a_n|\leq n,$

Seguiria então que $n<n$ (absurdo?!).

Newsletter #2, Julho de 2018

Em 2 jul 20182 jul 2018 por nelsonem Newsletters2 Comentários

Sejam bem-vindos, mais uma vez!

Depois de uma primeira newsletter mais “voltada para o passado”, onde fiz essencialmente um balanço das minhas atividades de pesquisa no primeiro quadrimestre, divulguei informações sobre o início de quadrimestre, e vos falei de alguns acontecimentos que marcaram o mês de maio (Pint of Science & Prêmio Abel), esta segunda newsletter será inteiramente dedicada ao presente e ao futuro.
Os temas de hoje são:

PROGRAMA PESQUISANDO DESDE O PRIMEIRO DIA (PDPD)
LIVRO DE EXERCÍCIOS DE BASES MATEMÁTICAS
BREVES NOTAS SOBRE O PRINCÍPIO DE INDUÇÃO MATEMÁTICA
SYMPOSIUM ON CLIFFORD ALGEBRAS, MATHEMATICAL PHYSICS AND RELATED TOPICS
EVENTOS SATÉLITE DO ICM 2018

PROGRAMA PESQUISANDO DESDE O PRIMEIRO DIA (PDPD)

A Pró-Reitoria de Pesquisa (PROPES) divulgou a 11 de junho o Edital 02/2018 (PDPD)
destinado à concessão de bolsas a alunos recém-ingressantes na UFABC (primeiroanistas) que pretendam realizar um projeto de pesquisa. As inscrições estarão abertas até às 23:59 do dia 20 de julho de 2018.

Para os eventuais interessados fazer um PDPD:

O projeto terá a duração de 10 meses: OUTUBRO DE 2018 a JULHO DE 2019.
Será a nota do ENEM com que ingressou na UFABC que determinará se você será ou não bolsista.
Poderá realizar o projeto de PDPD como voluntário, caso não venha a receber bolsa.
Alunos que possuam vínculo empregatício apenas poderão aderir ao programa na condição de voluntário.

Caso esteja interessado em ser orientado por mim, gostaria de salientar que os meus temas de pesquisa se situam na interface entre matemática e física com um potencial viés para aplicações. Alguns dos temas aplicados para os quais possuo interesse de momento são Computação Quântica & Multiplexing de Sinais Digitais. Para eventuais esclarecimentos sobre temas de pesquisa tome a liberdade de me endereçar um e-mail.

LIVRO DE EXERCÍCIOS DE BASES MATEMÁTICAS

Imagem criada com recurso ao arquivo GeoGebra NumerosFibonacci.ggb – números de Fibonacci como soma das diagonais do triângulo de Pascal (item (b) do **Exercício 75** do Livro de Exercícios de Bases Matemáticas).

Depois de em 2017 ter iniciado a produção do eBook Funções de Várias Variáveis [ainda em construção] para usar de suporte às minhas aulas de FVV, decidi fazer algo parecido em Bases Matemáticas e criei um Livro de Exercícios como forma de coletar todo o material que tenho vindo a desenvolver (incluindo os arquivos de GeoGebra, que podem ser baixados gratuitamente). O objetivo primordial passa pela extensa revisão dos exercícios que foram propostos nos anos anteriores, eliminando vários erros de impressão, e pela correção de várias imprecisões no enunciado de alguns deles.

Este livro já vai na sua 4ª atualização e conta, de momento (atualização de 24 de junho de 2018) com 111 exercícios, alguns deles novos relativamente às listas de exercícios dos anos anteriores. Para facilitar o entendimento do enunciado de alguns dos exercícios, estão sendo adicionadas várias notas de rodapé.

Para que este possa ainda vir a ser melhorado e ampliado, os vossos comentários e sugestões serão muito bem-vindos.

BREVES NOTAS SOBRE O PRINCÍPIO DE INDUÇÃO MATEMÁTICA

Indução Matemática é deveras um dos temas mais desafiantes para ensinar aos alunos ingressantes na UFABC. Umas das minhas estratégias que tenho vindo a adotar, desde que ministrei a disciplina pela primeira vez em 2016, passou por diversificar o cardápio de exercícios, tentando explorar este tema de forma transversal, englobando conceitos que foram pré-adquiridos anteriormente. De preferência com recurso a ferramentas computacionais (em particular, com recurso ao GeoGebra).
O #Problema do Mês de Junho que postei por aqui na semana passada enquadra-se dentro desta filosofia. Infelizmente, e por falta de tempo e disponibilidade para produzir material alternativo com recurso ao GeoGebra, gostaria de partilhar abaixo publicações interessantes que encontrei na página Facebook GIF Animados de Construções Geométricas:

https://www.facebook.com/almeidacrm/posts/1552261248236456
Demonstração da fórmula $2+4+\ldots+2n=n(n+1)$ [exercício 1a) da Lista 4 do GRADMAT]. Essencialmente este exercício consiste em provar que a soma dos $n$ primeiros números pares é igual a $n(n+1)$ .
https://www.facebook.com/almeidacrm/posts/1552254088237172
Demonstração da fórmula $1+3+\ldots+2n-1=n^2$ [exercício 1b da Lista 4 do GRADMAT]. Essencialmente este exercício consiste em provar que para todo o $n$ natural a área de um quadrado de lado $n$ pode ser obtida a partir da soma primeiros números ímpares.
https://www.facebook.com/groups/ogeogebra/permalink/2287059721521621/
Demonstração da fórmula $1^2+2^2+\ldots+n^2$ [exercício 2a) da Lista 4 do GRADMAT]. Veja também este post publicado na página de Facebook do IMPA.
https://www.facebook.com/almeidacrm/posts/1551116408350940
Interpretação 2D da fórmula de indução $1^3+2^3+\ldots n^3=(1+2+\ldots+n)^2$ [equivalente exercício 50 do Livro de Exercícios]
se atentarmos que a soma dos primeiros $n$ números naturais é igual a $\dfrac{n(n+1)}{2}$ ].
https://www.facebook.com/almeidacrm/posts/1551081541687760
Interpretação 3D da fórmula de indução $1^3+2^3+\ldots n^3=(1+2+\ldots+n)^2$ [equivalente ao exercício 50 do Livro de Exercícios].

SYMPOSIUM ON CLIFFORD ALGEBRAS, MATHEMATICAL PHYSICS AND RELATED TOPICS

No final do mês (mais propriamente, a 30 de julho de 2018 – 2ª feira) irei organizar um simpósio temático, direcionado para Álgebras de Clifford e Física Matemática, tirando partido do fato vários pesquisadores internacionais meus conhecidos se encontrarem por São Paulo. Segue abaixo uma tradução livre do conteúdo postado no site oficial do simpósio, também publicada na página do CMCC:

O simpósio é uma oportunidade para juntar estudantes de pós-graduação e pesquisadores interessados em álgebras de Clifford e Física Matemática. Com as diferentes palestras pretende-se lançar alguma luz sobre uma ampla variedade de tópicos de pesquisa que se encontram na interface entre matemática pura e matemática aplicada.
Durante o simpósio os participantes terão a oportunidade de trocar ideias, em um estilo muito informal, com os oradores convidados. Todos os participantes receberão um certificado de participação.

Data: 30/Julho/2018 das 8h30 as 17h00

Para mais detalhes, visite o site do simpósio:
http://professor.ufabc.edu.br/~nelson.faustino/Pesquisa/Conferencias/CliffordApp2018.htm

Conto com a vossa participação!

EVENTOS SATÉLITE DO ICM 2018

Para além do simpósio que estou organizando, vai haver outros eventos na grande São Paulo que irão preceder/suceder o Congresso Internacional de Matemáticos que se irá realizar de 01 a 09 de agosto de 2018 na cidade do Rio de Janeiro. Destaco alguns deles:

Topics in Mathematical Physics (26 a 31 de julho de 2018, na USP – São Paulo)
Workshop for Women in Differential Equations (de 25 a 27 de julho de 2018 na UFABC)
Workshop on Mathematical Physics (de 10 a 13 de agosto de 2018 no IFT-UNESP, São Paulo)

Gostaria de salientar que:

O Workshop for Women in Differential Equations será co-organizado pela Professora Doutora Juliana Pimentel, que este quadrimestre também está ministrando Bases Matemáticas;
Tanto a conferência Topics in Mathematical Physics como o Workshop on Mathematical Physics não requerem taxa de inscrição.
Andrei Okounkov (medalhista fields em 2006) será um dos oradores convidados do Workshop on Mathematical Physics;
Profª Malika, Prof. El Hassan & Prof. Zouhair Mouayn (que irão participar no simpósio que estou organizando) vão participar ainda no Congresso Internacional de Matemáticos & no Workshop on Mathematical Physics.

A newsletter de Julho fica-se por aqui. Regressaremos no próximo mês, após a realização do Symposium on Clifford Algebras, Mathematical Physics and Related Topics, e de serem conhecidos os medalhistas fields no Congresso Internacional de Matemáticos . Seguramente não irão faltar novidades e curiosidades matemáticas.

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#Problema do Mês de Junho: Princípio da Casa dos Pombos aplicado a Conjuntos e Funções.

Em 27 jun 201816 out 2018 por nelsonem Problemas1 comentário

pigeonhole — Ilustração pictórica do princípio da *Casa dos Pombos* para o caso de termos 6 casas e 7 pombos.

No problema deste mês iremos ilustrar o Princípio da Casa dos Pombos sob o ponto de vista de Conjuntos e Funções.

As técnicas de demonstração a utilizar envolverão:

Método de Indução Matemática;
Método de Redução ao Absurdo.

Comecemos por resolver uma versão abreviada do Exercício 73 do meu Livro de Exercícios de Bases Matemáticas (seção 2.4 Aplicações do Princípio de Indução Matemática):

PROBLEMA:

Se $A$ e $B$ são dois conjuntos finitos com $n+1$ e $n$ elementos, respetivamente, então para todo o $n\geq 2$ não é possível definir uma função injetiva $f:A \rightarrow B$ .

Para resolvermos este exercício, comecemos por aplicar o Método de Indução Matemática:

CASO BASE (verdade para n=2):

Comecemos por assumir que $A$ tem três elementos ( $A=\{a_1,a_2,a_3\}$ ) e $B$ dois elementos ( $B=\{b_1,b_2\}$ ).

Se $f$ fosse injetiva, então $f(a_1)\neq f(a_2) \neq f(a_3)$ e, por conseguinte, o conjunto imagem $f(A)=\{f(a_1),f(a_2),f(a_3)\}$ seria formado por três elementos distintos, o que é absurdo dado $f(A)$ ser por definição um subconjunto de $B$ (e por conseguinte um conjunto que, no máximo, tem dois elementos i.e. $|f(A)|\leq |B|= 2$ ).

O absurdo resultou em supor que a função $f:A \rightarrow B$ . é injetiva. Por Reductio ad absurdum (Redução ao Absurdo em latim) concluímos assim que nas condições do enunciado (função cujo domínio tem três elementos e cujo contradomínio tem dois elementos) nunca poderá ser injetiva. Com este argumento simples, envolvendo cardinalidade de um conjunto finito, provamos o caso base.

Passemos para a demonstração do Passo Indutivo:

PASSO INDUTIVO (verdade para n=k implica verdade para n=k+1)

Para provarmos o caso indutivo, comecemos por assumir que $f: A \rightarrow B$ é uma função arbitrária que não é injetiva, com $|A|=k+1$ e $|B|=k$ .

Consideremos agora os conjuntos $C=A \cup \{a\}$ e $D=B \cup \{b\}$ (com $a \not \in A \& b \not \in B$ ), e definamos a função $g:C\rightarrow D$ por $g(a)=b$ (se $x=a$ ) e $g(x)=f(x)$ (se $x\in A$ ).

OBSERVAÇÃO: Obviamente que se tivéssemos definido $g(a)$ com base na condição $g(a) \in B$ , então a função $g$ nunca seria injetiva.

Suponhamos novamente por Reductio ad absurdum que foi possível construir, com base numa função arbitrária $f:A \rightarrow B$ , não injetiva, uma função $g:C\rightarrow D$ injetiva.

Pela mesma ordem de ideias do caso anterior, o conjunto imagem $g(C)$ teria $k+2$ elementos distintos. Uma vez que $g(C)=f(A)\cup \{b\} \& b\not \in f(A)$ ), então com base na hipótese de injetividade (que assumimos por redução ao absurdo), obteríamos a sequência de igualdades

$|f(A)|+1=|g(D)|=k+2$ .

Em particular, concluiríamos que o conjunto imagem $f(A)$ teria forçosamente $k+1$ elementos, o que é absurdo dado que $f(A)$ é um subconjunto de $B$ que tem apenas $k$ elementos.

Ou seja, usando um raciocínio análogo ao caso anterior provámos também, por redução ao absurdo, que não existe nenhuma função injetiva para $|C|=k+2$ e $|D|=k+1$ .

Em suma, o CASO BASE e o PASSO INDUTIVO permitem-nos provar o resultado pretendido.

COMO EXERCÍCIO

Prove o seguinte enunciado, envolvendo a construção de funções sobrejetivas:

Se $A$ e $B$ são dois conjuntos finitos com $n$ e $n+1$ elementos, respetivamente, então para todo o $n\geq 2$ não é possível definir uma função sobrejetiva $f:A \rightarrow B$ .

MAIS APLICAÇÕES DO PRINCÍPIO DA CASA DOS POMBOS

O princípio da Casa dos Pombos é um princípio essencialmente combinatório com aplicações diversas em campos da matemática aparentemente distantes. Com base neste princípio podemos p.e. concluir que:

Se num elevador estiverem seis pessoas e este elevador parar em cinco pisos, então em um dos pisos sairão pelo menos duas pessoas (COMBINATÓRIA).
Se tomarmos três pontos distintos no intervalo $[0,1]$ , então pelo menos dois deles não distam mais que $\dfrac{1}{2}$ (ANÁLISE REAL).
“se tomamos cinco pontos quaisquer sobre um quadrado de lado 1, então pelo menos dois deles não distam mais que $\sqrt{2}/2$ ” (item (d) dos Desafios 2, página GRADMAT) – ou seja, metade da medida da diagonal de um quadrado de lado $1$ (GEOMETRIA ANALÍTICA).

A reformulação do primeiro item para $p$ pessoas e $t$ pisos (com $p>t$ ) conduz-nos naturalmente a uma generalização deste princípio sob o ponto de vista de Conjuntos e Funções (veja item (c) dos Desafios 2, página GRADMAT).

COMO EXERCÍCIO

Procure resolver o seguinte problema prático, com recurso ao Princípio da Casa dos Pombos generalizado:

Suponha que você juntou no último mês numa caixinha $30$ moedas de $25$ centavos, $40$ moedas de $50$ centavos e $24$ moedas de $1$ real. Se você pegar ao acaso $40$ dessas moedas da caixinha para levar para a universidade, quantas moedas de $25$ centavos ou $50$ centavos ou de $1$ real levará pelo menos?

Uma possível generalização do segundo item corresponde essencialmente ao Exercício 74 do meu Livro de Exercícios de Bases Matemáticas (seção 2.4 Aplicações do Princípio de Indução Matemática). [Um bom exercício passa por enunciar e demonstrar o análogo do Exercício 66 para os intervalos $[a,b]$ ( $a<b$ )].

Para generalizar indutivamente o terceiro item terá de essencialmente colocar a seguinte pergunta:

Se tomarmos $n+1$ pontos sobre um polígono regular de $n$ lados iguais (para simplificar, escolhamos todos os lados com medida $1$ ), então qual será a distância máxima entre pelo menos dois desses pontos escolhidos de forma arbitrária?

Caso não tenha nenhuma ideia concreta de como atacar o problema, tente perceber p.e. o que acontece quando:

tomarmos $6$ pontos distintos sobre um pentágono regular.
tomarmos $7$ pontos distintos sobre um hexágono regular.
(e assim por diante).

DICA: Comece por determinar o baricentro nos casos acima. Depois determine qual a distância entre o baricentro e cada um dos vértices dos polígonos regulares acima. É possível obter uma fórmula indutiva?

Para terminar este post deixo-vos com um vídeo ilustrativo sobre os princípios aritméticos/combinatórios por detrás deste princípio.

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Newsletter #1, Junho de 2018

Em 1 jun 201830 maio 2018 por nelsonem Newsletters1 comentário

Olá a todos!

Esta é a primeira de várias newsletters que irei escrever por aqui até ao final do ano letivo de 2018, como forma de estruturar o que já tenho vindo a fazer na seção NOTÍCIAS do meu site da UFABC — http://professor.ufabc.edu.br/~nelson.faustino/. Os temas de hoje são:

ENSINO,
PESQUISA
ROBERT LANGLANDS VS. PRÊMIO ABEL
PINT OF SCIENCE
IV SEMANA DO CMCC

ENSINO

Comecemos pelos preparativos para o início do 2º quadrimestre, que começará na próxima 2ª feira, dia 04 de junho de 2018:

Não haverá aula de Bases Matemáticas nos dias 04 e 06 de junho de 2018. As aulas apenas se iniciarão na semana de 11 a 16 de junho (Semana 2 do 2º Quadrimestre).
Também não haverá aula de Análise Complexa nos dias 05 e 07 de junho de 2018. Iniciaremos também as atividades letivas apenas na Semana 2 do 2º Quadrimestre.
Ao contrário da disciplina de Bases Matemáticas, para o qual já tenho um plano de ensino pré-definido, similar ao adotado no ano letivo de 2017, para Análise Complexa serei um pouco mais flexível, atendendo a esta ser uma disciplina opcional e ao número de alunos inscritos. Pedia portanto ao(s) aluno(s) inscrito(s) que lessem a proposta de “Plano de Ensino” que consta na página, e me enviasse(m), por e-mail, sugestões para que eu proceda a uma modificação deste.

PESQUISA

Ao longo do 1º quadrimestre de 2018 dediquei-me essencialmente a atividades de pesquisa. Em particular:

Foram escritas 2 pré-publicações nos meses de janeiro de 2018 (arXiv:1801.09340) & fevereiro de 2018 (arXiv:1802.08605). A primeira (já aceite para publicação) será publicado na Springer Book series Trends in Mathematics, num volume especial em homenagem ao Professor Wolfgang Sprößig.
Ministrei um seminário para os alunos da pós-graduação em matemática da UFABC, e participei no 19th Annual Workshop on Applications and Generalizations of Complex Analysis que se realizou na Universidade de Aveiro. Os slides de ambas as palestras encontram-se na página web http://professor.ufabc.edu.br/~nelson.faustino/ na seções NOTÍCIAS (procure em Fevereiro 2018 & Março 2018) & ACERVUS (procure os títulos Modelos de mecânica quântica baseados em cálculo multivetorial e estatística Bayesiana & Fourier analysis of Discrete Dirac operators on the n-torus IR^n / (2\pi / h) Z^n).

Apresentação em público — Foto captada a **23 de março de 2018**, na Universidade de Aveiro, no decorrer do *19th Annual Workshop on Applications and Generalizations of Complex Analysis*.

Na próxima newsletter, que irá para o ar por volta do dia 02 de julho de 2018 (2ª feira), irei por-vos ao corrente de alguns eventos satélite do ICM 2018, que irão decorrer na cidade de São Paulo, assim como vos dar mais informações a respeito do Symposium on Clifford Algebras, Mathematical Physics and Related Topics, que se irá realizar na UFABC no dia 30 de julho de 2018 (2ª feira). Fiquem atentos!

ROBERT LANGLANDS VS. PRÊMIO ABEL

A 20 de março de 2018, a Academia Norueguesa de Ciências e Letras laureou o matemático canadense Robert Langlands com o prêmio Abel ,”pelo seu programa visionário que liga a teoria da representação à teoria dos números” (sic). A cerimônia de entrega do prêmio decorreu a 22 de maio de 2018 na Universidade Aula, em Oslo, e contou com a presença do rei Harald da Noruega.
A 23 de maio de 2018 realizaram-se as Abel Lectures 2018, onde Robert Langlands, James Arthur (que foi aluno de doutorado de Langlands) e Edward Frenkel (autor do livro Amor e matemática: o coração da realidade escondida). Tirando vários laudatios que li sobre o trabalho de Langlands, o de Edward Frenkel – que parafraseou Sophia Kovalevskaya no resumo de sua comunicação intitulada Langlands Program and Unification – é o que melhor sintetiza a importância do programa de Langlands:

Sophia Kovalevskaya wrote, “It is not possible to be a mathematician without being a poet at heart. A poet should see what others can’t see, see deeper than others. And that’s the job of a mathematician as well.” The work of Robert Langlands sets a great example for this maxim, as it is marked by originality, imagination, and penetrating insights. (…)

Para saber mais sobre Robert Langlands e sobre a cerimônia deste ano do prêmio Abel, veja:

The The Abel Prize Laureate 2018 International Page, gerida pela Academia Norueguesa de Ciências e Letras.
A página de facebook do Prêmio Abel, onde foram partilhadas diversas notícias sobre a premiação de Robert Langlands.

PINT OF SCIENCE

Decorreu nos dias 14, 15 e 16 de maio de 2018 a edição brasileira do Pint of Science. Este evento surgiu no Reino Unido, em 2013, pela mão dos pesquisadores Michael Motskin e Praveen Paul do Imperial College London. Em 2015 este evento global chegou ao Brasil pelas mãos da jornalista Denise Casatti, do Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação (ICMC) da USP, em São Carlos.

A edição deste ano teve lugar em em 56 cidades brasileiras, incluíndo a região do Grande ABC. No estado de São Paulo (SP), os papos sobre matemática giraram em torno d’O conceito de infinito na física e matemática (bar Tubaína, São Paulo), Teoria de Jogos e Paradoxos (Da Vinci bar, Campinas).

Para saber mais sobre a edição deste ano do evento, leia também:

Festival leva cientistas ao bar para debaterem suas pesquisas com o público (Folha de São Paulo, 14 Maio 2018)
Um happy hour com a ciência (Estadão, 15 Maio 2018)
Pint of Science brasileiro é um dos maiores do mundo (Revista Pesquisa FAPESP, 25 Maio 2018)

IV SEMANA DO CMCC

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A Semana do CMCC é um evento que ocorrerá nos dois campi da UFABC, e tem como objetivo complementar a formação profissional e acadêmica dos participantes. Teremos palestras, minicursos e eventos culturais. Participe!

Para maiores informações acesse: http://eventos.ufabc.edu.br/semanadocmcc/

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#Problema do Mês de Maio: Como determinar as raízes de um polinômio de grau 3 usando cálculo diferencial.

Em 28 maio 201829 maio 2018 por nelsonem ProblemasDeixe um comentário

Sejam bem-vindos, mais uma vez! Na próxima 6ª feira (caso não surja nenhum imprevisto relacionado com a greve dos caminhoneiros) será publicada a primeira de várias newsletters. Para além destas, vou também publicar no final de cada mês um problema matemático que se enquadre com os conteúdos ministrados nas disciplinas do BC&T, BC&H e do Bacharelado em Matemática.

O problema deste mês envolve a determinação das raízes de um polinômio de grau $3$ . Como poderá constatar com uma simples pesquisa na internet, não existe uma única forma para calcular estas, ao contrário das equações quadráticas (fórmula de Bhaskara). Acresce que as abordagens que irá encontrar na internet envolvem o domínio de vários conceitos, muito além dos que aprendeu no ensino médio. No caso particular deste [primeiro] post sobre o assunto (irão surgir eventualmente mais alguns sobre o assunto) vou-me centrar nos seguintes conceitos:

Zeros de polinômios;
Divisão de polinômios;
Teorema Fundamental do Cálculo;
Fórmula de Bhaskara.

Problema:

Calcule todas as possíveis soluções da equação cúbica $x^3=cx+1$ , para valores de $c>0$ .

Ideia de Resolução:

Primeiramente, comecemos por observar que as soluções da equação $x^3=cx+1$ correspondem às raízes do polinômio $p(x)=x^3-cx-1$ .

Ora esta equação não é de simples resolução, uma vez que não conhecemos uma raíz $\lambda$ de $p(x)$ que nos permita fatorar $p(x)$ como

$\displaystyle p(x)=(x-\lambda)q(x),$

onde $q(x)$ é um polinômio de grau $2$ .

No entanto, sabemos que:

$p'(x)$ é um polinômio de grau $2$ ;
$\displaystyle p(x)=p(a)+\int_a^{x} p'(t)dt$ , pelo Teorema Fundamental do Cálculo.

Começando pela aplicação do Teorema Fundamental Cálculo

Usando o fato de $\pm \sqrt{\frac{c}{3}}$ corresponderem às raízes de $p'(x)=3x^2-c$ , obtemos que

$\displaystyle p'(x)=3\left(x-\sqrt{\frac{c}{3}}\right)\left(x+\sqrt{\frac{c}{3}}\right).$

De seguida, usando integração por partes obtemos que

$\displaystyle P_1(t)=\int p'(t)dt=\frac{3}{2}\left(t-\sqrt{\frac{c}{3}}\right)\left(t+\sqrt{\frac{c}{3}}\right)^2-\frac{1}{2}\left(t+\sqrt{\frac{c}{3}}\right)^3+\kappa_1 \\ \ \\ \displaystyle=\frac{1}{2}\left(t+\sqrt{\frac{c}{3}}\right)^2\left(2t-4\sqrt{\frac{c}{3}}\right) +\kappa_1 \\ \ \\=\left(t+\sqrt{\frac{c}{3}}\right)^2 \left(t-\sqrt{\frac{4c}{3}}\right)+\kappa_1,$

onde $\kappa_1$ é uma constante.

Analogamente, podemos também obter por integração por partes que

$\displaystyle P_2(t)=\int p'(t)dt=\left(t-\sqrt{\frac{c}{3}}\right)^2 \left(t+\sqrt{\frac{4c}{3}}\right)+\kappa_2,$

onde $\kappa_2$ é outra constante.

O Teorema Fundamental do Cálculo nos permite concluir que $p(x)=x^3-cx-1$ é igual a $P_1(x)$ resp. $P_2(x)$ . Em particular, a igualdade $p(0)=-1$ nos permite concluir que as constantes $\kappa_1$ e $\kappa_2$ são dadas por

$\displaystyle \kappa_1=-1+\frac{c}{3}\sqrt{\frac{4c}{3}}~~~\&~~~ \kappa_2=-1-\frac{c}{3}\sqrt{\frac{4c}{3}}.$

Transformação da equação cúbica numa equação do tipo quadrático.

Das duas últimas representações obtidas para $p(t)$ obtemos que

$\displaystyle \kappa_2 P_1(t)\left(t+\sqrt{\frac{4c}{3}}\right)=\left(t-\sqrt{\frac{c}{3}}\right)^2 \left(t^2-{\frac{4c}{3}}\right)+\kappa_1\kappa_2\left(t+\sqrt{\frac{4c}{3}}\right)$

$\displaystyle \kappa_1 P_2(t)\left(t-\sqrt{\frac{4c}{3}}\right)=\left(t+\sqrt{\frac{c}{3}}\right)^2 \left(t^2-{\frac{4c}{3}}\right)+\kappa_1\kappa_2\left(t-\sqrt{\frac{4c}{3}}\right).$

Subtraindo as equações acima, obtemos que

$\displaystyle \kappa_2 P_1(t)\left(t+\sqrt{\frac{4c}{3}}\right)-\kappa_1 P_2(t)\left(t-\sqrt{\frac{4c}{3}}\right)=-4\left(t^2-{\frac{c}{3}}\right) \left(t^2-{\frac{4c}{3}}\right)+2\kappa_1\kappa_2 \sqrt{\frac{4c}{3}}.$

Ou seja, $p(x)=0$ implica que equação abaixo é automaticamente satisfeita:

$\displaystyle -4\left(x^2-{\frac{c}{3}}\right) \left(x^2-{\frac{4c}{3}}\right)+2\kappa_1\kappa_2 \sqrt{\frac{4c}{3}}=0.$

Fazendo agora a mudança de variável $y=x^2$ , a última equação se transforma numa equação quadrática da forma $y^2+by+a=0$ , com

$\displaystyle b=-\frac{5c}{3}~~~\&~~~a=\frac{4c^2}{9}-\sqrt{\frac{c}{3}}~\kappa_1\kappa_2.$

Esta equação admite soluções reais no caso de $b^2-4a\geq 0$ , ou seja quando

$\displaystyle c^2+4\sqrt{\dfrac{c}{3}}~\kappa_1\kappa_2\geq 0.$

Observação: Com base nas constantes $\kappa_1$ e $\kappa_2$ determinadas anteriormente, temos que $\displaystyle \kappa_1\kappa_2=1-\frac{4c^3}{27}.$ Em particular, para valores de $\displaystyle 0<c\leq \dfrac{3}{\sqrt[3]{4}}$ , a desigualdade acima é sempre satisfeita.

Como exercício:

#1 Determine todas as raízes de $\displaystyle -4\left(x^2-{\frac{c}{3}}\right) \left(x^2-{\frac{4c}{3}}\right)+2\kappa_1\kappa_2 \sqrt{\frac{4c}{3}}=0$ com base na transformação $\displaystyle y=x^2$ .

#2 Use as duas raízes $r_1$ e $r_2$ determinadas no item anterior para encontrar o polinômio $q(x)$ (de grau $1$ ) tal que

$\displaystyle p(x)=(x-r_1)(x-r_2)q(x).$

PARA ESTAREM A PAR DAS ÚLTIMAS NOVIDADES

Mathmagicworld está de volta!

Em 15 maio 201815 maio 2018 por nelsonem Newsletters1 comentário

Voltei a reativar o meu antigo blog https://mathmagicworld.wordpress.com/!

A partir do dia 01 de junho de 2018 (sexta-feira) irei utilizar este espaço para publicar newsletters. Estas terão uma periodicidade mensal (na primeira 2ª feira de cada mês), e incidirão sobre as minhas atividades de Ensino, Pesquisa e Extensão na UFABC.
Nestas newsletters haverá também espaço para a divulgação matemática.

Crescimento (In)Sunstentável-Palestra (in Portuguese).

Em 19 mar 2013 por nelsonem UncategorizedDeixe um comentário

Na passada 6ª feira, 15 Março 2013, dei uma palestra pública na Escola Secundária Dª Inês de Castro, Alcobaça, enquadrada nas actividades do Agrupamento de Escolas de Cister-Agrup@2013.

Tendo como mote o ano de 2013 como o Ano da Matemática do Planeta Terra, escolhi como tema para a minha palestra, o problema do Crescimento [Económico] (In)Sustentável, como forma de desmistificar um dos assuntos que tem sido muito falado na comunicação social.

O grande erro dos economistas, em geral, passa por assumir que as economias podem crescer eternamente a ritmos rápidos e exponenciais, o que não é verdade, pois os recursos disponíveis para o fazer são finitos, e com o passar do tempo tendem a ser cada vez mais escassos e caros.
Numa das infografias que inclui nos slides, a propósito do aforramento de divisas, verifica-se que as economias que amealham divisas de uma forma rápida a curto prazo, foram também aquelas que experimentam quebras ou abrandamento a longo prazo.
No final, lançei a hipótese do modelo de Selecção Natural de Charles Darwin (1842-1844) ser talvez o melhor modelo para descrever o crescimento económico, tomando como caso base o crescimento exponencial da economia Chinesa-entre 1996-2010-assim como o abrandamento desta de 2010 para cá.
Com base nestes indicadores, devemos colocar a hipótese de existir uma relação causa-efeito entre leis da termodinâmica (petróleo, minerais e recursos naturais) e o crescimento económico (aforramento de divisas). A aparente correlação do preço do barril de brent e o aumento do preço dos alimentos a isso me leva a especular.

Para os interessados, podem fazer download dos slides na hiperligação abaixo. Fico entretanto a aguardar pelas vossas observações e sugestões, ou por e-mail, ou em comentário a esta entrada.

URL slides: ESDICA2013

Lista – Álgebra Básica (versão: 08/06 – 3:45)

Lista – Números Reais (versão: 12/07 – 17:30)

Propriedades elementares de números reais

Ordenação de números reais

Demonstração de somas por indução

Revisão Indução

Procure agora por você mesmo resolver os exercícios abaixo, seguindo algumas das minhas dicas:

Demonstração de produtos por indução

Demonstração de desigualdades usando conjuntos indutivos

[consegue chegar, por você mesmo, à conclusão acima para os casos que ilustrei na tabela?]

Mais exemplos para treinar usando a noção de conjunto indutivo

Aplicações

Motivação Indutiva:

Conjunto Indutivo:

Demonstração por Indução:

Alguns exemplos ilustrativos (retirados da Newsletter #2, Julho de 2018)

Atualização 08 Out. — Foram realizadas pequenas correções ao longo do post. Adicionados alguns comentários adicionais, para complementar o que foi discutido em sala de aula.

Revisão da aula anterior

Igualdade de funções

Imagem e pré-imagem de funções

Como exercício:

Composição de funções

Funções injetivas, sobrejetivas e bijetivas

Na próxima aula:

Soluções Inteiras de Equações

Espaço de probabilidade: definição de espaço amostral e de probabilidade

Leituras recomendadas:

Atualização 06 Out. — A última parte da aula, abordada de forma bastante informal, será continuada na Aula 5 BM (07/10/2019)

Revisão da aula anterior

Produto Cartesiano de Conjuntos — Definição e Propriedades

Produto Cartesiano de Conjuntos — Exemplos e Aplicações

Função — Definição, Conjuntos Imagem e Pré-Imagem

Combinações vs. Princípio Multiplicativo de Contagem – Motivação para aula de hoje

Combinações vs. Permutações – Princípio Multiplicativo mais uma vez

Combinações vs. Permutações vs. Princípio Aditivo/Multiplicativo de Contagem – Mais um exemplo

Teorema Binomial [e Multinomial]

Soluções Inteiras de Equações

Introdução à Probabilidade e Estatística – 3 anos depois

Porque continua a ser desafiante ministrar a disciplina de Bases Matemáticas?

A importância do raciocínio [matemático]

Como [aprender a] mentir com estatística(s)?

Revisão da aula anterior

Súmula dos assuntos a serem tratados na primeira aula de Bases Matemáticas:

Notações:

Definições:

Inclusões e igualdades de conjuntos:

Conjunto das Partes:

Operações entre conjuntos:

Propriedades envolvendo operações entre conjuntos:

Este primeiro post corresponde a uma súmula das definições e exemplos a tratar/tratados na Aula 1:

Princípio aditivo de contagem:

Princípio multiplicativo de contagem:

Exemplos (Princípio aditivo de contagem):

Exemplos (Princípio multiplicativo de contagem):

Permutações e Combinações:

Exemplos (Permutações):

Exemplos (Combinações):

Problema:

Resolução:

Problema

Resolução

Observação:

Conto com a vossa participação!

PARA ESTAREM A PAR DAS ÚLTIMAS NOVIDADES

PROBLEMA:

MAIS APLICAÇÕES DO PRINCÍPIO DA CASA DOS POMBOS

PARA ESTAREM A PAR DAS ÚLTIMAS NOVIDADES

ENSINO

PESQUISA

ROBERT LANGLANDS VS. PRÊMIO ABEL

PINT OF SCIENCE

IV SEMANA DO CMCC

PARA ESTAREM A PAR DAS ÚLTIMAS NOVIDADES

Problema:

Ideia de Resolução:

PARA ESTAREM A PAR DAS ÚLTIMAS NOVIDADES