Algebra er en del av matematikken der bokstaver og symboler brukes til å beskrive tall og sammenhenger.
algebra
Hvis ett eple koster 5 kroner, er prisen for \(n\) epler \(5n\) kroner. Prisen for eplene er her et algebraisk uttrykk fordi antall epler er en variabel i stedet for et bestemt tall.
Aroma
Av
Opplysningskontoret for Frukt og Grønnsaker.
Lisens:
Begrenset gjenbruk
Bokstavregning
Algebra gjør det mulig å lage regler og formler som kan brukes i mange ulike situasjoner og ikke bare i ett enkelt regnestykke.
Uttrykket \(x + 3\) betyr «et tall pluss tre». Hvis \(x\) er fire, blir summen syv. Hvis \(x\) er ti blir summen tretten. Det samme uttrykket kan brukes i flere regnestykker fordi det inneholder en ukjent. En slik ukjent størrelse kalles en variabel og skrives vanligvis med en bokstav i stedet for et tall.
Arealet av en sirkel
Arealet til en sirkel med radius \(r\) er gitt av formelen \[A = \pi r^2.\] Hvis radius er to, settes \(r\) lik to i uttrykket for arealet. Hvis radius er ti, settes \(r\) lik ti i den samme formelen. Dermed kan den samme formelen brukes på alle sirkler uansett størrelse.
For eksempel er arealet for en sirkel med radius to omtrent lik \(3,14 \times 2^2\), mens arealet av en sirkel med radius fem er \(3,14 \times 5^2\).
For hver verdi av radiusen må man gjøre en ny utregning, men ved hjelp av algebra og variabelen \(r\) er det nok med én generell formel for arealet.
Ligninger
En ligning inneholder to uttrykk som er like store, for eksempel \(x + 5 = 12\). Hvis en størrelse fjernes fra den ene siden av ligningen, må den samme størrelsen også fjernes fra den andre siden av ligningen for å beholde balansen.
En ligning inneholder to uttrykk som er like store. Ligningen \(x + 5 = 12\) betyr at summen av et ukjent tall \(x\) og tallet 5 er lik 12. For å finne det ukjente tallet kan man tenke på ligningen som en balanse. Hvis man trekker fra 5 på begge sider, blir det fortsatt balanse og ligningen gir at \(x = 7\).
Denne typen bokstavregning er en sentral del av algebra. Så lenge sammenhenger kan beskrives med symboler og regler, gir algebra en strukturert måte å løse praktiske problemer.
- Les mer om ligninger.
Algebras to hoveddeler
Algebra deles ofte i to hoveddeler: grunnleggende algebra og abstrakt algebra.
- Grunnleggende algebra handler om å regne med tall og variabler, for eksempel gjennom bokstavregning og det å løse ligninger.
- Abstrakt algebra handler om mer generelle algebraiske systemer og om funksjoner.
Grunnleggende algebra er regning med tall og ukjente variabler. Dette er nyttig, blant annet for å kunne lage generelle regler og formler, slik som arealet til en sirkel: \(\pi r^2\). Bokstaven \(r\) i denne formelen er en ukjent verdi, som man kan bytte ut med radiusen til sirkelen man ønsker å regne ut arealet til.
Abstrakt algebra generaliserer slike formler og regler til abstrakte systemer og studerer disse. Et eksempel er den kommutative lov som sier at \(a + b = b + a\) og \(ab = ba\).
Abstrakt algebra
I den første figuren er det én kule. I den andre figuren er det tre kuler. I den tredje figuren er det seks kuler. Abstrakt algebra kan brukes til å finne en formel for antall kuler i figur nummer \(n\) ved å generalisere og finne systemer:
\[1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{1}{2}n(n+1) \]
I et algebraisk system finnes det bestemte regler for hvordan elementer kan kombineres og disse reglene ligner på vanlig regning med tall.
Anvendelser av abstrakt algebra
Abstrakt algebra omfatter grener som gruppeteori, som brukes for å studere symmetri, og lineær algebra, som brukes i for eksempel maskinlæring. Noen eksempler på algebraiske systemer er gruppe, ring, kropp og vektorrom. Slike systemer finnes i alle områdene av matematikken.
I abstrakt algebra er det ikke alltid bestemt hva elementene i et system er. De kan for eksempel tolkes som tall, funksjoner eller transformasjoner. Dette gjør at algebra kan brukes i mange ulike sammenhenger.
Siden begynnelsen av 1900-tallet har algebra hatt særlig stor betydning for geometriens utvikling (algebraisk geometri og algebraisk topologi). Algebra har også spilt en rolle innenfor diverse områder av anvendt matematikk, for eksempel gjennom gruppeteoriens anvendelse i moderne fysikk. Teorien for boolske algebraer har avgjørende betydning for konstruksjonen av datamaskiner.
I sosiale vitenskaper, psykologi og økonomi brukes matriser og lineær algebra i det som kalles lineær programmering eller matematisk programmering.
Ordets opprinnelse
Ordet algebra stammer fra tittelen på den arabiske matematikeren Mohamed Ibn Musa Al-Khwarizmîs lærebok Algebr wal muqabala («Gjenopprettelse og forenkling») som betegner to forenklingsmåter for ligninger.
Det finnes tidlige eksempler på tilløp til formalisering. For eksempel betegner Ahmes regnebok den ukjente med hau (mengde). I Italia brukte man uttrykket cosa (tingen), hvorav den tidlige engelske og tyske betegnelsen cossregning for algebra er avledet.
Historisk utvikling
Begrepet algebra ble opprinnelig brukt identisk med ligningsteori, og helt til begynnelsen av 1800-tallet faller historien for de to grenene av matematikken sammen.
Allerede babylonerne (2000–1500 fvt.) hadde et høyt utviklet algebraisk system, mens Ahmes regnebok (nå kjent som Papyrus Rhind, 1700 fvt.) gir eksempler på egyptisk algebra. Greske matematikere var mer opptatt av geometri, men den senere aleksandrinske perioden har fremragende algebraikere som Diofantos (ca. 270 evt.). Noe senere oppsto den indiske algebraiske skole (Brahmagupta, Bhaskara).
Gjennom araberne ble den indiske og greske algebraen smeltet sammen (Al-Khwarizmî), ca. 820 evt. og overført til Vest-Europa, særlig til Italia. Her ble de første store fremskrittene siden den antikke algebra gjort ved Scipione del Ferro og Niccolò Tartaglias løsning av tredjegradsligningen og L. Ferraris løsning av fjerdegradsligningen, begge offentliggjort først i Girolamo Cardanos Ars Magna (1545). Disse resultatene var oppnådd uten formler, men så kompliserte problemer fremtvang snart en forenkling gjennom et systematisk tegnspråk.
Den franske matematikeren François Viète innførte først bokstaver for de forekommende størrelser (1591). Det er her den populære betegnelsen bokstavregning for algebra kommer fra. Bruken av de første bokstavene i alfabetet a, b, c for å betegne kjente størrelser og de siste bokstavene x, y, z for ukjente ble tatt i bruk av René Descartes.
Den videre formaliseringen foregikk deretter raskt. For eksempel ble de vanlige potens- og rot-betegnelsene innført av Albert Girard, Descartes og Isaac Newton. Ved de grunnleggende arbeidene av Carl Friedrich Gauss, Niels Henrik Abel og Évariste Galois i første halvdel av 1800-tallet ble noen av ligningsteoriens hovedproblemer brakt til en viss avslutning, og fra denne tid av danner algebra en egen lærebygning, som ligningsteorien bare er en del av.
Les mer i Store norske leksikon
Kommentarer
Kommentarer til artikkelen blir synlig for alle. Ikke skriv inn sensitive opplysninger, for eksempel helseopplysninger. Fagansvarlig eller redaktør svarer når de kan. Det kan ta tid før du får svar.
Du må være logget inn for å kommentere.