approksimation

I almindelig talregning approksimeres tal som regel med decimalbrøker og i regnemaskiner oftest med bimalbrøker, dvs. tilsvarende i 2-talsystemet. For at finde en approksimation bruges forskellige formler. I nogle tilfælde er et tal lig med en sum af uendelig mange tal. En sådan række giver mulighed for uendelig mange approksimationer, idet et endeligt antal led adderes, og summen bruges som approksimation. Afkortning af en række kaldes trunkering, og afvigelsen kaldes trunkeringsfejlen, se fejl.

Herved forstås en anden lignende funktion, der kan anvendes til regneoperationer, fx i en computer, og som kan erstatte den givne funktion i sammenhængen.

Tjebysjov-approksimation. I denne tilnærmelse vurderes fejlen ved den største forskel mellem tilsvarende funktionsværdier.

En funktion \(f(x)\) over definitions mængden \(x \in [a,b]\) approksimeres af approksimationen \(p(x)\) med tilsvarende fejl defineret som \( \max_{x \in [a,b]} |f(x)-p(x)|\). De to meste kendte sætninger med denne form for approksimation er Weierstrass' approksimationssætning og Tjebysjovs approksimationssætning. Førstnævnte siger, at en kontinuert funktion kan Tjebysjov-approksimeres med polynomier med så lille en fejl, man ønsker. Sidstnævnte siger, at den bedste Tjebysjov-approksimation til en kontinuert funktion med et polynomium af foreskreven grad er entydigt bestemt og svinger om funktionen, så fejlen antager sin numerisk største værdi med skiftende fortegn et antal gange, der er én større end graden. Til trods for disse stærke sætninger er det vanskeligt at finde gode Tjebysjov-approksimationer til en kontinuert funktion. Det nytter ikke at vælge et eller flere punkter ud og så approksimere med det polynomium, der stemmer overens med funktionen og evt. dens afledede i disse punkter, en såkaldt interpolation, fordi et polynomium af høj grad med foreskrevne værdier i jævnt fordelte punkter over intervallet altid foretager store udsving mellem disse. Det nytter heller ikke at udvikle funktionen i en potensrække (Taylorrække), fordi fejlen kommer til at ligne rækkens \(n\)'te led, \(x^n\), dvs. den er meget lille for \(x\) nær \(0\) og hurtigt voksende med \(x\).

er en metode til at undgå polynomier af høj grad. Fremgangsmåden er, at man vælger en inddeling af det givne interval, og i hvert delinterval vælger et polynomium. Disse skal interpolere funktionens værdier i inddelingspunkterne. Yderligere skal de første afledede af de sammenstødende polynomier stemme overens i interpolationspunkterne. Det giver et antal bånd på hvert af polynomierne, i tilfælde af tredjegradspolynomier fire bånd, undtagen i de yderste. Man tilføjer nu enten betingelserne, at den anden afledede i intervallets endepunkter skal være \(0\), dvs. naturlige splines, eller, at de afledede i disse punkter stemmer overens med funktionens. Den sidste metode giver den bedste approksimation, mens den naturlige spline (dvs. to gange kontinuert differentiable) er den funktion, der interpolerer de givne funktionsværdier og minimerer den anden afledede i gennemsnit. Det sidste betyder, at kurven krummer mindst muligt. Man kan derfor sige, at den naturlige spline er den glatteste interpolation mellem de givne punkter. Heraf navnet "spline", der er et tegneredskab til at tegne glatte kurver.

Denne metode til at undgå polynomier af høj grad går ud på at vælge det polynomium af fast lav grad, fx \(1\) (lineær regression) eller \(2\), som minimerer kvadratsummen af afstandene til funktionsværdierne i et antal punkter. Det er nemt at minimere, fordi der er få koefficienter at estimere. Fordelen er, at man kan tilnærme polynomiet til et stort antal punkter uden at øge graden.

I denne metode skal kvadraterne i samtlige punkter i intervallet minimeres i gennemsnit. Dette udføres ved hjælp af passende ortogonale polynomier, som udvikles i en ortogonalrække. Ved trunkering af ortogonalrækken opnås en approksimation i middel.

Dette er den vigtigste metode til approksimation. Tjebysjov opdagede en specielt velegnet klasse af ortogonale polynomier (Tjebysjov-polynomier), som egentlig er transformationer af de trigonometriske funktioner. Deres ortogonalrække bliver da blot en transformeret Fourierrække. Dette ses af, at de kan skrives som \(T_n(x) = \cos(n \arccos x)\). Det \(n\)-te Tjebysjov-polynomium, \(2^{1-n}T_n(x)\), har den egenskab at være det polynomium af grad \(n\) og med højestegradskoefficient \(1\), der er numerisk mindst i intervallet \([-1, 1]\). Det antager sin numerisk største værdi, \(\pm 1\), skiftevis i alt \(n+1\) gange i intervallet. Det betyder, at udvikles funktionen i en ortogonal række af Tjebysjov-polynomier, opnås ikke kun en approksimation i middel, men hvis rækkens led går hurtigt mod \(0\), vil fejlen komme til at ligne det første led, der er fjernet, altså et Tjebysjov-polynomium. Derved nærmer vi os den bedst mulige Tjebysjov-approksimation.

• mindste kvadraters metode
• splines
• Taylors formel
• fejl