differentialregning

Differential- og integralregning (infinitesimalregningen) skabtes af Newton i 1665-66 og G.W. Leibniz i 1675. Begge byggede på B. Cavalieris (1598-1647), J. Wallis', B. Pascals, P. Fermats og andres metoder til tangent-, areal- og maksimumsbestemmelse, men i modsætning til forgængerne udviklede Newton og Leibniz metoderne til en sammenhængende kalkyle med simple regneregler. Leibniz opfattede differentialregning som en teori for differentialer \(dx,dy,...\), dvs. "uendelig små" tilvækster, hvor \(dy=y(x+dx)−y(x)\). Derimod byggede Newton på hastighedsbegrebet og en slags grænseovergang (fluxionsregning). I begge tilfælde var grundlaget matematisk skrøbeligt og kritiseredes i samtiden. På trods af kritikken viste Newton, Leibniz og deres efterfølgere, fx brødrene Jakob og Johann Bernoulli, L. Euler, d'Alembert og J. Lagrange, teoriens effektivitet ved at anvende metoderne på et stort antal problemer. Leibniz' betragtningsmåde og notation viste sig at være mest frugtbar og praktisk og har overlevet til vore dage.

I løbet af 1700-t. opstod på denne måde den matematiske analyse, der foruden differential- og integralregning bl.a. omfatter differentialligningsteori og variationsregning. Den matematiske analyse blev hjørnestenen i den samtidige udvikling af teoretisk fysik og et afgørende hjælpemiddel i astronomi.

Grundlaget for differentialregningen blev mere stedmoderligt behandlet: Euler definerede \(\frac{df}{dx}\) som et forhold mellem to nuller (infinitesimaler), d'Alembert benyttede et uklart grænseværdibegreb, og Lagrange definerede \(f'\) (Lagranges symbol) som koefficienten \(p\) til førstegradsleddet i potensrækkeudviklingen af \(f: f (x+h) = f (x)+ph+qh_2+rh_3+...\) (se Taylors formel). Alle disse definitioner viste sig at være problematiske, så differentialregningen fik først et solidt matematisk fundament med A.L. Cauchys definition af \(f'\) som grænseværdi af differenskvotienten (1821) og K. Weierstrass' præcise \(\epsilon\)-\(\delta\)-definition af grænseværdi (1860'erne).

I nyere tid har A. Robinson med sin ikke-standardanalyse (1960) vist, at det er muligt at tillægge Leibniz' "uendelig små" størrelser en præcis mening, som kan danne grundlag for differentialregningen. Dermed retfærdiggjorde han i en vis forstand Leibniz' og Eulers argumenter.

I dag benytter man normalt Cauchys og Weierstrass' indføring af differentialregningens grundbegreber. Man definerer således, at en funktion \(f\) er differentiabel i \(x_0\), hvis differenskvotienten

\[\frac {\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\]

har en grænseværdi for \(x\) gående mod \(x_0\). Grænseværdien kaldes funktionens differentialkvotient og betegnes \(\frac {df}{dx}(x_0)\) eller \(f'(x_0)\). Hvis \(f\) er differentiabel i alle punkter \(x_0\) af sin definitionsmængde, definerer \(\frac{df}{dx}\) en ny funktion \(f'\), der kaldes den afledede af \(f\); den siges at være fremkommet ved at differentiere \(f\). Er \(f'\) igen differentiabel, betegner man dens afledede med \(\frac{d^2f}{dx^2}\) eller \(f''\), og \(f\) siges at være to gange differentiabel. Analogt defineres \(f'''\), \(f^{(4)}\) osv. En reel funktion kan være et endeligt antal gange differentiabel eller uendelig ofte differentiabel. Det sidste gælder alle de sædvanlige funktioner som polynomier, trigonometriske funktioner samt logaritme- og eksponentialfunktioner. En differentiabel funktion er altid kontinuert; løst sagt er en kontinuert funktion differentiabel, hvis dens graf ikke har nogen knæk.

I fysikken kan \(f(t)\) beskrive en bevægelse ved at \(f(t)\) betegner den strækning, et punkt har bevæget sig til tiden \(t\), og så vil \(f'(t)\) beskrive punktets hastighed og \(f''(t)\) dets acceleration.

Geometrisk kan \(f'(x_0)\) fortolkes som hældningskoefficienten af tangenten til \(f\)'s graf i punktet \((x_0,f(x_0))\) (se illustration 1). Tangenthældningen bestemmes som grænseværdien for sekanthældningen og dermed for differenskvotienten, når x nærmer sig \(x_0\).

Illustration 2 illustrerer de aflededes betydning for funktionen \(f\). I maksima og minima er \(f'(x)=0\). Hvor \(f\) vokser, er \(f'(x)\) positiv, og hvor den aftager, er \(f'(x)\) negativ. Hvor \(f''(x)\) er positiv, er \(f\)'s graf opad hul i \(x\), mens den er nedad hul, hvis \(f''(x)\) er negativ. De højere afledede giver endnu flere oplysninger om \(f\) og dens graf.

Flere variable. For en funktion af to variable, \(z=f(x,y)\), betragtes differentialkvotienterne med hensyn til hver af de variable. De kaldes de partielle afledede og betegnes \(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\). Eksistensen af de partielle afledede i et punkt \(x_0,y_0\) er ikke nok til at sikre, at \(f(x,y)\) er differentiabel i punktet; der kræves desuden, løst sagt, at funktionens graf, der er en flade, har en tangentplan. For reelle funktioner af mere end to variable defineres de partielle afledede og differentiabilitet på tilsvarende måde.

En kompleks funktion \(f(z)\) siges at være differentiabel i \(z_0\), hvis differenskvotienten \(\frac {(f(z)-f(z_0))}{(z-z_0)}\) har en grænseværdi, der er uafhængig af den måde, hvorpå \(z\) går mod \(z_0\). Overraskende nok gælder det for en kompleks funktion, at hvis den er én gang differentiabel, er den automatisk uendelig ofte differentiabel, se holomorf funktion.

Differentiation og integration er hinandens omvendte i den forstand, at

\[\frac d {dx} \int_{x_0}^x f(t)dt=f(x)\]

og

\[\int_a^b f'(t)dt=f(b)-f(a)\]

Funktionen \(f(x)\) siges at være stamfunktion til \(f'(x)\). De to formler kaldes under ét differential- og integralregningens hovedsætning.

• \( (f+g)'=f'+g' \)
• \( (k·f)'=k·f' \)
• \( (f·g)'=f'g+fg' \)
• \((\frac f g)'=\frac{f'g-fg'}{g2}\)
• \([f(g(x))]'=f'(g(x))·g'(x)\)

• differentialligning
• integralregning