gitterdynamik

I en klassisk beskrivelse vibrerer atomerne omkring ligevægtspositionerne i krystalgitteret. Hvis udsvingene er små, vil atomerne udføre harmoniske svingninger, som om de var forbundne med fjedre, hvor kræfterne rettet tilbage mod ligevægtsstillingerne er proportionale med udsvingenes størrelse. Indeholder krystallen N atomer, kan disses vibrationer beskrives som en overlejring af 3N svingningstilstande i gitteret.

Den simpleste model af en krystal er den lineære kæde, som er en endimensional række af atomer med fast indbyrdes afstand i hvilestillingerne. Løsningerne til bevægelsesligningerne for kæden er longitudinale bølger (dvs. med udsving i kædens længderetning), hvor hver bølge er karakteriseret ved en frekvens ν og en bølgelængde λ. Ligningen, som sammenknytter ν og λ, kaldes dispersionsrelationen. Bølger med lav frekvens har en stor bølgelængde og ligner almindelige lydbølger, som udbreder sig med lydens hastighed i krystallen.

Gitterdynamikken, som beskrevet for den lineære kæde, kan umiddelbart udvides til krystaller i tre dimensioner. Her forekommer blot tre typer bølger: de longitudinale med udsving i samme retning som udbredelsesretningen og to transversale med udsving vinkelret på udbredelsesretningen og på hinanden.

Energien i de harmoniske svingninger er U = 3kT pr. atom, hvor k er Boltzmanns konstant og T den absolutte temperatur. Heraf følger, at varmekapacieteten, dU/dT = 3k, for et fast stof er uafhængig af temperaturen (Dulong og Petits lov). Stoffernes termiske ekspansion følger af den klassiske beskrivelse, hvis man medtager anharmoniske led i atomernes bevægelse, når de befinder sig forholdsvis langt fra ligevægtspositionerne, dvs. tager hensyn til, at kræfterne tilbage mod ligevægtsstillingerne ved store udsving ikke mere er proportionale med udsvingenes størrelse. Ved relativt høje temperaturer giver de anharmoniske led målelige afvigelser fra Dulong og Petits lov.

Ud fra den klassiske beskrivelse burde Dulong og Petits lov gælde bedst ved meget lave temperaturer, hvor atomerne svinger harmonisk nær hvilestillingerne. Eksperimentelt viser det sig imidlertid, at varmekapaciteten, og i øvrigt også den termiske ekspansion, aftager for lave temperaturer og nærmer sig nul ved det absolutte nulpunkt. Dette forløb kan kun forklares kvantemekanisk.

I den kvantemekaniske model for gitterdynamikken beskrives hver svingningstilstand som en harmonisk oscillator med energiniveauerne E = (n+¹/₂)hν, n = 0,1,2,..., hvor h er Plancks konstant. Der er fortsat en karakteristisk dispersionsrelation mellem frekvensen ν og bølgelængden λ. I tre dimensioner afhænger frekvensen af bølgens udbredelsesretning. Derfor angives frekvensen i dispersionsrelationen i stedet som en funktion af en bølgetalsvektor q, hvis retning angiver bølgens udbredelsesretning, og hvis længde er 2π/λ.

Energien af svingninger med frekvensen ν forekommer i kvanter af størrelsen hν. I lighed med det partikelbillede, der bruges for elektromagnetiske bølger, hvor energikvantet kaldes en foton, beskrives gittersvingningernes energikvant som en partikel og kaldes en fonon. Ofte skrives ℏω i stedet for hν, hvor ω = 2πν er den angulære frekvens og ℏ = h/2π.

Fononbeskrivelsen af gitterdynamikken udgør grundlaget for de moderne kvantemekaniske modeller for stoffernes mekaniske, magnetiske, optiske og elektroniske egenskaber, herunder superledning.

• krystalgitter