Комплексные числа как доказательство существование Бога.
Здорово и понятно автор рассказывает про комплексные числа: откуда они появились, чем интересны и что с ними можно сделать.
Рекомендую к прочтению широкому кругу лиц.
Класса с пятого любой школьник знает, что с числами можно всегда выполнить три операции - сложение, вычитание и умножение. Есть ещё и деление, но делить на ноль нельзя, поэтому лучше сколько можно обойтись без деления. Если мы применяем эти три операции к числам, то всегда получаем число, но кроме чисел, их можно применять ещё и к коробочкам, на которых написаны каббалистические символы икс, игрек, зет, ... В эти коробочки мы можем бросать разные числа, и тогда результат операций будет снова числом. Но иногда ясно, что это число не зависит от того, что брошено в коробочки: например, икс минус икс всегда равно нулю, а выражение икс квадрат минус игрек квадрат всегда будет произведением двух чисел, икс минус игрек и икс плюс игрек. Многочлены - это всё, что можно изготовить посредством трёх арифметических операций из нескольких коробочек и всевозможных чисел.
Прелесть игры с коробочками та, что в них иногда можно бросать более сложные штуки, чем просто числа. Например, в выражение x2-1 вместо икса можно подставить число π, даже не очень понимая, что это такое. Всё равно ответ окажется произведением двух чисел. В многочлен от одной переменной вместо икса можно подставлять матрицы (а с двумя переменными уже будут проблемы: xy и yx - один и тот же многочлен, а умножение матриц зависит, вообще говоря, от порядка). Математики обожают играть в такие игры, но биологам об этом знать совершенно необязательно.
А вот с комплексными числами ситуация совершенно иная. Нет, конечно, никто никому ничего не обязан, и можно отлично разбираться в сортах бабочек, не зная, как извлечь корень из минус единицы... но если б какой-нибудь б какой-нибудь Воланд спросил математиков, есть ли у них свои собственные доказательства бытия Бога, я думаю, многие из них бы вспомнили про существование комплексных чисел. Эти числа - объект, обладающий совершенно фантастическим сочетанием свойств, позволяющих совершать невероятное.
Для начала - арифметика. Комплексные числа содержат внутри себя привычные рациональные дроби вида p/q, действия с которыми мы учим в школе. Оказывается, можно так ввести/определить/обнаружить четыре действия арифметики с комплексными числами, что если в эти действия подставить рациональные числа, мы получим привычные результаты. Само по себе это свойство не бог весть как редкое: например, три действия арифметики можно определить на многочленах (см. выше), а все четыре - на т.н. рациональных функциях. Но всё равно, пустячок, а приятно.
Дальше - алгебра. Уравнение x+3=0 не имеет решений в положительных числах, 2x=3 в целых, а x2-2=0 - в рациональных, но мы научились худо-бедно жить с такой "неразрешимостью". Математики стали от бескормицы добавлять к "старым" числам "новые" по определённым правилам так, чтобы каждое конкретное уравнение можно было бы решить в "новых" числах: главное, чтоб не вляпаться при этом в противоречие (добавив "решение" уравнение 0*х=1, мы разрушим до до основанья весь старый и привычный мир, а построить на его развалинах удастся очень немного). В отличие от разработчиков компьютерного софта, backwards compatibility является непременным условием такого апгрейда: если новая технология не работает со старыми числами, - ей не место на рынке. Лет 450 назад, примерно во времена Коперника, математики почувствовали, что им надо научиться решать уравнение x2+1=0. Не из любви к искусству, а чтобы понять, как работает загадочная формула Кардано для корней уравнения третьей степени. Она давала правильный ответ, когда у уравнения был (видимый невооружённым глазом) единственный корень, но если корней было три (скажем, для уравнения (x-1)x(x+1)=0 после раскрытия скобок), формула "ломалась", но поломку можно было устранить, введя мистический значок i, единственное свойство которого было давать в квадрате минус единицу. С выражениями a+bi стало можно проделывать все арифметические действия, из которых важнейшим было деление: 1/(a+bi)=(a/r)-(b/r)i, r=a2+b2. Догадаться до такой формулы не просто, но нет такой крепости, которая не сдалась бы заинтересованным купцам-мореходам.
Добавить к числам корень одного уравнения, пускай и столь важного, как x2+1=0 - всё ещё не фунт изюма. Дальше надо было бы рассматривать ещё более общие уравнения, коэффициенты которых - "новые" числа. Например, есть ли решения у уравнения x2+i=0? Если их нет среди "новых" чисел, их надо добавлять, а если они есть, - надо их искать. Оказалось, - и это первое серьёзное чудо и проявление Высшего разума, - что ничего больше добавлять не надо. "Новые", они же комплексные числа, самодостаточны: любое уравнение (многочленное) с комплексными коэффициентами всегда имеет нужное число комплексных же решений. Иными словами, с точки зрения алгебры, нет насущной необходимости двигаться дальше, - решателям алгебраических уравнений и здесь хорошо. Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле, если пользоваться математическим жаргоном.
На самом деле всё ещё прекрасней. Кроме алгебраических уравнений, задаваемых многочленами, есть масса других других абсолютно необходимых функций. Без экспонент и логарифмов невозможно было бы описывать размножение бактерий в пробирке, банковский процент, радиоактивный распад, остывание нагретых тел и т.д. Эти функции - не многочлены (легко убедиться, что не бывает на свете многочлена, равного своей производной, - хотя бы уже потому, что при дифференцировании степень понижается). Однако же комплексные числа обладают полнотой, - комплексная плоскость не имеет дыр, а значит, функции типа экспоненты продолжаются в комплексную область и творят там чудеса. Скажем, не будь на свете мнимой единицы i, не видно было бы связи между двумя фундаментальными вещественными числами e и π...
В прекрасном новом мире оказывается гораздо проще исследовать разные функции. Обычно математическое (а также физическое) исследование основано на продвижении мелкими шажками (метод возмущений, локальный анализ и т.д.). Биологу было бы понятно сравнение с муравьём, которого сажают в какую-то точку, а потом заставляют медленно ползти и рассказывать, какие изменения он видит по дороге. Однако есть места, куда муравью наступать нельзя. Скажем, если мы посадим муравья в точку x=1 на вещественной прямой и заставим его наблюдать значения функции f(x)=1/x по мере того, как он ползёт влево (приближаясь к x=0), то бедное насекомое будет орать "теплее! ещё теплее! горячо! ещё горячее!", но наступить на нуль он(о) не может, а поэтому муравью не дано переползти в область маленьких отрицательных иксов и обнаружить, что там страшно холодно, много ниже нуля. (Такой скачок вызывает недоумение не только у муравьев).
Теперь представим себе муравья на комплексной плоскости. Наступить на ноль он по-прежнему не может, но он может подползти к нему сколь угодно близко, а потом обогнуть его по маленькой полуокружности и продолжать ползти уже по отрицательным числам. Отчёт о таком путешествии будет драматичен, но очень интересен. Но бывают ещё более нетривиальные приключения. Например, уравнение y2=x при любом ненулевом иксе имеет два разных корня-игрека: вещественные, если х положительный, чисто мнимые, если х отрицателен, и чёрт знает какие комплексные в остальных случаях. Посадим муравья в точку х=1 и попросим его следить за бОльшим из двух корней, у=+1, покрасив его мысленно в красный цвет (а другой, чтоб не путать - в синий). Пусть муравей ползёт, как и в прошлый раз, к точке х=0. Тогда он всё время помнит, какой из двух разных корней красный, а какой синий. Если бы муравью разрешено было ползти только по вещественной оси, то он уперся бы рано или поздно в точку х=0, и там синий и красный корень слились бы в один фиолетовый комок, и как раскрасить два мнимых корня, переползя через ноль, муравей никак не мог бы узнать.
Если же наш муравей может сползти с вещественной оси и обогнуть нуль, то корни по дороге не сольются, значит, всегда будет ясно ("по старой памяти"), как их раскрашивать, хоть они уже и не вещественны и понятие "бОльший корень" потеряло смысл. Однако оказывается - та-дамм! - что результат раскраски будет зависеть от того, сверху ли или снизу обошёл наш муравей опасную точку х=0. Более того, если он обойдёт её не по полукругу, а сделает полный оборот и вернётся снова на положительную ось, он обнаружит, к своему удивлению, что корни поменялись местами, и красный корень теперь отрицательный, а синий - положительный! Из анализа этого "парадокса" оказывается возможным вывести доказательство того, что решения уравнений степени 5 и выше, как правило, невозможно написать в явном виде при помощи арифметических операций и значка "извлечение корня".
Более того, возможность объезжать особенности "на кривой козе" настолько ценна, что современная физика была бы абсолютно невозможна без неё.
Если мы от "элементарных" свойств перейдём к "матану", то оказывается, что свойство обладать производной (дифференцируемость), будучи формально продолжено с вещественных функций на комплексные, приобретает кардинально иной смысл. Для биологов попробую напомнить, что такое дифференцируемость функции f(x) в точке а: надо взять крошечный отрезочек [a-h,a+h], и посмотреть, во что его превращает функция. Если функция дифференцируема, то она превратит его в крошечный же отрезочек с центром почти в точке f(a), хотя длина отрезочка может при этом измениться. Если теперь x, a и f(x) у нас комплексные числа (а значит, точки на плоскости), то соответствующее определение надо "двумеризовать". Функция f называется дифференцируемой, если она превращает крошечный кружочек с центром в точке а, в крошечный кружочек с центром в f(a). Дифференцируемость в комплексном смысле - гораздо более сильное требование, чем дифференцируемость в вещественном смысле: например, растяжение плоскости вдоль осей с разными коэффициентами превратит круг в эллипс, а значит, не будет дифференцируемой функцией. На картинке [в исходной записи] показано, как комплексно дифференцируемая функция превращает неправильной формы область D, заполненную крошечными кружочками, во внутренность круга исключительно за счёт растяжения радиусов кружочков и их поворота, но сохраняя касание ровно таким, каким оно было сначала!
Продолжать перечислять поразительные свойства комплексных чисел можно ещё очень долго. Каждое из них по отдельности, будучи примечательно само по себе, ещё не уникально. Но вот тот факт, что они совместились в одном-единственном объекте, - абсолютно ни из чего не следует, кроме как из бесконечной предусмотрительности Творца™. Впрочем, Он™ позаботился о том, чтобы мы не слишком раскатывали губу: никаких "трёхмерных" чисел, обладающих хоть сколько-нибудь сопоставимым набором нужных свойств, в мире нет.
Рекомендую к прочтению широкому кругу лиц.
Класса с пятого любой школьник знает, что с числами можно всегда выполнить три операции - сложение, вычитание и умножение. Есть ещё и деление, но делить на ноль нельзя, поэтому лучше сколько можно обойтись без деления. Если мы применяем эти три операции к числам, то всегда получаем число, но кроме чисел, их можно применять ещё и к коробочкам, на которых написаны каббалистические символы икс, игрек, зет, ... В эти коробочки мы можем бросать разные числа, и тогда результат операций будет снова числом. Но иногда ясно, что это число не зависит от того, что брошено в коробочки: например, икс минус икс всегда равно нулю, а выражение икс квадрат минус игрек квадрат всегда будет произведением двух чисел, икс минус игрек и икс плюс игрек. Многочлены - это всё, что можно изготовить посредством трёх арифметических операций из нескольких коробочек и всевозможных чисел.
Прелесть игры с коробочками та, что в них иногда можно бросать более сложные штуки, чем просто числа. Например, в выражение x2-1 вместо икса можно подставить число π, даже не очень понимая, что это такое. Всё равно ответ окажется произведением двух чисел. В многочлен от одной переменной вместо икса можно подставлять матрицы (а с двумя переменными уже будут проблемы: xy и yx - один и тот же многочлен, а умножение матриц зависит, вообще говоря, от порядка). Математики обожают играть в такие игры, но биологам об этом знать совершенно необязательно.
А вот с комплексными числами ситуация совершенно иная. Нет, конечно, никто никому ничего не обязан, и можно отлично разбираться в сортах бабочек, не зная, как извлечь корень из минус единицы... но если б какой-нибудь б какой-нибудь Воланд спросил математиков, есть ли у них свои собственные доказательства бытия Бога, я думаю, многие из них бы вспомнили про существование комплексных чисел. Эти числа - объект, обладающий совершенно фантастическим сочетанием свойств, позволяющих совершать невероятное.
Для начала - арифметика. Комплексные числа содержат внутри себя привычные рациональные дроби вида p/q, действия с которыми мы учим в школе. Оказывается, можно так ввести/определить/обнаружить четыре действия арифметики с комплексными числами, что если в эти действия подставить рациональные числа, мы получим привычные результаты. Само по себе это свойство не бог весть как редкое: например, три действия арифметики можно определить на многочленах (см. выше), а все четыре - на т.н. рациональных функциях. Но всё равно, пустячок, а приятно.
Дальше - алгебра. Уравнение x+3=0 не имеет решений в положительных числах, 2x=3 в целых, а x2-2=0 - в рациональных, но мы научились худо-бедно жить с такой "неразрешимостью". Математики стали от бескормицы добавлять к "старым" числам "новые" по определённым правилам так, чтобы каждое конкретное уравнение можно было бы решить в "новых" числах: главное, чтоб не вляпаться при этом в противоречие (добавив "решение" уравнение 0*х=1, мы разрушим до до основанья весь старый и привычный мир, а построить на его развалинах удастся очень немного). В отличие от разработчиков компьютерного софта, backwards compatibility является непременным условием такого апгрейда: если новая технология не работает со старыми числами, - ей не место на рынке. Лет 450 назад, примерно во времена Коперника, математики почувствовали, что им надо научиться решать уравнение x2+1=0. Не из любви к искусству, а чтобы понять, как работает загадочная формула Кардано для корней уравнения третьей степени. Она давала правильный ответ, когда у уравнения был (видимый невооружённым глазом) единственный корень, но если корней было три (скажем, для уравнения (x-1)x(x+1)=0 после раскрытия скобок), формула "ломалась", но поломку можно было устранить, введя мистический значок i, единственное свойство которого было давать в квадрате минус единицу. С выражениями a+bi стало можно проделывать все арифметические действия, из которых важнейшим было деление: 1/(a+bi)=(a/r)-(b/r)i, r=a2+b2. Догадаться до такой формулы не просто, но нет такой крепости, которая не сдалась бы заинтересованным купцам-мореходам.
Добавить к числам корень одного уравнения, пускай и столь важного, как x2+1=0 - всё ещё не фунт изюма. Дальше надо было бы рассматривать ещё более общие уравнения, коэффициенты которых - "новые" числа. Например, есть ли решения у уравнения x2+i=0? Если их нет среди "новых" чисел, их надо добавлять, а если они есть, - надо их искать. Оказалось, - и это первое серьёзное чудо и проявление Высшего разума, - что ничего больше добавлять не надо. "Новые", они же комплексные числа, самодостаточны: любое уравнение (многочленное) с комплексными коэффициентами всегда имеет нужное число комплексных же решений. Иными словами, с точки зрения алгебры, нет насущной необходимости двигаться дальше, - решателям алгебраических уравнений и здесь хорошо. Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле, если пользоваться математическим жаргоном.
На самом деле всё ещё прекрасней. Кроме алгебраических уравнений, задаваемых многочленами, есть масса других других абсолютно необходимых функций. Без экспонент и логарифмов невозможно было бы описывать размножение бактерий в пробирке, банковский процент, радиоактивный распад, остывание нагретых тел и т.д. Эти функции - не многочлены (легко убедиться, что не бывает на свете многочлена, равного своей производной, - хотя бы уже потому, что при дифференцировании степень понижается). Однако же комплексные числа обладают полнотой, - комплексная плоскость не имеет дыр, а значит, функции типа экспоненты продолжаются в комплексную область и творят там чудеса. Скажем, не будь на свете мнимой единицы i, не видно было бы связи между двумя фундаментальными вещественными числами e и π...
В прекрасном новом мире оказывается гораздо проще исследовать разные функции. Обычно математическое (а также физическое) исследование основано на продвижении мелкими шажками (метод возмущений, локальный анализ и т.д.). Биологу было бы понятно сравнение с муравьём, которого сажают в какую-то точку, а потом заставляют медленно ползти и рассказывать, какие изменения он видит по дороге. Однако есть места, куда муравью наступать нельзя. Скажем, если мы посадим муравья в точку x=1 на вещественной прямой и заставим его наблюдать значения функции f(x)=1/x по мере того, как он ползёт влево (приближаясь к x=0), то бедное насекомое будет орать "теплее! ещё теплее! горячо! ещё горячее!", но наступить на нуль он(о) не может, а поэтому муравью не дано переползти в область маленьких отрицательных иксов и обнаружить, что там страшно холодно, много ниже нуля. (Такой скачок вызывает недоумение не только у муравьев).
Теперь представим себе муравья на комплексной плоскости. Наступить на ноль он по-прежнему не может, но он может подползти к нему сколь угодно близко, а потом обогнуть его по маленькой полуокружности и продолжать ползти уже по отрицательным числам. Отчёт о таком путешествии будет драматичен, но очень интересен. Но бывают ещё более нетривиальные приключения. Например, уравнение y2=x при любом ненулевом иксе имеет два разных корня-игрека: вещественные, если х положительный, чисто мнимые, если х отрицателен, и чёрт знает какие комплексные в остальных случаях. Посадим муравья в точку х=1 и попросим его следить за бОльшим из двух корней, у=+1, покрасив его мысленно в красный цвет (а другой, чтоб не путать - в синий). Пусть муравей ползёт, как и в прошлый раз, к точке х=0. Тогда он всё время помнит, какой из двух разных корней красный, а какой синий. Если бы муравью разрешено было ползти только по вещественной оси, то он уперся бы рано или поздно в точку х=0, и там синий и красный корень слились бы в один фиолетовый комок, и как раскрасить два мнимых корня, переползя через ноль, муравей никак не мог бы узнать.
Если же наш муравей может сползти с вещественной оси и обогнуть нуль, то корни по дороге не сольются, значит, всегда будет ясно ("по старой памяти"), как их раскрашивать, хоть они уже и не вещественны и понятие "бОльший корень" потеряло смысл. Однако оказывается - та-дамм! - что результат раскраски будет зависеть от того, сверху ли или снизу обошёл наш муравей опасную точку х=0. Более того, если он обойдёт её не по полукругу, а сделает полный оборот и вернётся снова на положительную ось, он обнаружит, к своему удивлению, что корни поменялись местами, и красный корень теперь отрицательный, а синий - положительный! Из анализа этого "парадокса" оказывается возможным вывести доказательство того, что решения уравнений степени 5 и выше, как правило, невозможно написать в явном виде при помощи арифметических операций и значка "извлечение корня".
Более того, возможность объезжать особенности "на кривой козе" настолько ценна, что современная физика была бы абсолютно невозможна без неё.
Если мы от "элементарных" свойств перейдём к "матану", то оказывается, что свойство обладать производной (дифференцируемость), будучи формально продолжено с вещественных функций на комплексные, приобретает кардинально иной смысл. Для биологов попробую напомнить, что такое дифференцируемость функции f(x) в точке а: надо взять крошечный отрезочек [a-h,a+h], и посмотреть, во что его превращает функция. Если функция дифференцируема, то она превратит его в крошечный же отрезочек с центром почти в точке f(a), хотя длина отрезочка может при этом измениться. Если теперь x, a и f(x) у нас комплексные числа (а значит, точки на плоскости), то соответствующее определение надо "двумеризовать". Функция f называется дифференцируемой, если она превращает крошечный кружочек с центром в точке а, в крошечный кружочек с центром в f(a). Дифференцируемость в комплексном смысле - гораздо более сильное требование, чем дифференцируемость в вещественном смысле: например, растяжение плоскости вдоль осей с разными коэффициентами превратит круг в эллипс, а значит, не будет дифференцируемой функцией. На картинке [в исходной записи] показано, как комплексно дифференцируемая функция превращает неправильной формы область D, заполненную крошечными кружочками, во внутренность круга исключительно за счёт растяжения радиусов кружочков и их поворота, но сохраняя касание ровно таким, каким оно было сначала!
Продолжать перечислять поразительные свойства комплексных чисел можно ещё очень долго. Каждое из них по отдельности, будучи примечательно само по себе, ещё не уникально. Но вот тот факт, что они совместились в одном-единственном объекте, - абсолютно ни из чего не следует, кроме как из бесконечной предусмотрительности Творца™. Впрочем, Он™ позаботился о том, чтобы мы не слишком раскатывали губу: никаких "трёхмерных" чисел, обладающих хоть сколько-нибудь сопоставимым набором нужных свойств, в мире нет.
