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简单偏微分方程的求解

Thu, 05 Jun 2025 00:00:00 +0000

引入

偏微分方程(Partial Differential Equation, a.k.a. PDE), 有别于常微分方程(Ordinary Differential Equation, a.k.a. ODE), 其处理的函数有更多的变量, 这也带来了额外的处理难度. 通常地讲, 即使是ODE, 我们也很难解决, 何况有更多变量的PDE了. 实际上, 我们只能解决少部分PDE.

我们简要谈论PDE与ODE的联系与区别. ODE是某种特殊的PDE, 而若对于某个PDE, 其中只涉及一个变元的导函数, 那么我们可以视其他变元为常量, 从而将PDE变成一个ODE. 但这种方法对于含有多变量的导函数的方程就不管用了, 虽然其至少给了我们一个这样的思路. 其次, 对于微分方程的Cauchy问题, PDE给出的条件也远比ODE的条件更加复杂. 同时, 由于PDE涉及更多变量, 对于某个方程, 其的不同边值条件也会带来完全不同的结果.

面对这样一个局面, 如何求解PDE就成为了一个依PDE形式而不同的问题了. 下面具体介绍该问题. 实际上PDE的求解是为了找出形如方程[eq1]的解的问题. $\begin{equation} f (u, x_1, x_2, \ldots, x_n, u_{x_1}, u_{x_2}, \ldots, u_{x_n}, u_{x_i x_j}, \ldots, u_{\Pi x_i}, \ldots) = 0. \label{eq1} \end{equation}$ 同时由于上面所述的种种原因, 我们往往会加上一些限制, 如

$\begin{align} \forall i_q \in I, x_{i_q} = l_{i_q}, & u (l_{i_1}, \ldots, l_{i_m}, x_{j_1}, \ldots, x_{j_n}) = \varphi (x_{j_1}, \ldots, x_{j_n}), j_p \in \Sigma \backslash I. \nonumber\\ & u_{\Pi x_k} (l_{i_1}, \ldots, l_{i_m}, x_{j_1}, \ldots, x_{j_n}) = \psi (x_{j_1}, \ldots, x_{j_n}), k \in J. \nonumber \end{align}$

About Approximation theory in Functional analysis

Fri, 14 Jul 2023 00:00:00 +0000

Abstract

This article investigates the approximation theory in the sense of functional analysis, to study the inner logics of approximation. And then the condition of formal series space normability is discussed.

Introduction

We have once learnt the Weierstrass Approximation Theorem in Calculus courses, which indicates that $\forall f\in\mathcal{C}[a,b]$ , there exists polynomial series capable of converging to $f$ uniformly. In the least square approximation problem, we also studied the method of Chebyshev polynomial base to approximate continuous functions. To analyze those issues, it is natural to introduce normed spaces.

Proof for associativity of semi-tensor product

Sun, 29 Jan 2023 00:00:00 +0000

Preliminaries

In this section we’d like to introduce some definitions and properties involved in the proof for associativity of the semi-tensor product.

Definition 1 (kronecker product). Let $A \in \mathcal{M}_{m \times n}, B \in \mathcal{M}_{p \times q}$ , then the kronecker product $A \otimes B \in \mathcal{M}_{pm \times qn}$ is defined $A \otimes B = \left[\begin{array}{ccc} a_{11} B & \ldots & a_{1 n} B\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m 1} B & \ldots & a_{mn} B \end{array}\right] .$

用于编码的有限域上多项式的分解

Sun, 30 Oct 2022 20:09:25 +0000

对 $x^n-1$ 的多项式分解的一些技巧.

from sympy import GF,symbols,factor,latex
x=symbols('x')
F = GF(2)
l = [['i',r'\(x^i-1\)'],None]
for i in range(16):
    l.append([i,r"\("+latex(factor(x**i-1,domain=F))+"\)"])
return l

i	$x^i-1$
0	$0$
1	$x + 1$
2	$\left(x + 1\right)^{2}$
3	$\left(x + 1\right) \left(x^{2} + x + 1\right)$
4	$\left(x + 1\right)^{4}$
5	$\left(x + 1\right) \left(x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1\right)$
6	$\left(x + 1\right)^{2} \left(x^{2} + x + 1\right)^{2}$
7	$\left(x + 1\right) \left(x^{3} + x + 1\right) \left(x^{3} + x^{2} + 1\right)$
8	$\left(x + 1\right)^{8}$
9	$\left(x + 1\right) \left(x^{2} + x + 1\right) \left(x^{6} + x^{3} + 1\right)$
10	$\left(x + 1\right)^{2} \left(x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1\right)^{2}$
11	$\left(x + 1\right) \left(x^{10} + x^{9} + x^{8} + x^{7} + x^{6} + x^{5} + x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1\right)$
12	$\left(x + 1\right)^{4} \left(x^{2} + x + 1\right)^{4}$
13	$\left(x + 1\right) \left(x^{12} + x^{11} + x^{10} + x^{9} + x^{8} + x^{7} + x^{6} + x^{5} + x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1\right)$
14	$\left(x + 1\right)^{2} \left(x^{3} + x + 1\right)^{2} \left(x^{3} + x^{2} + 1\right)^{2}$
15	$\left(x + 1\right) \left(x^{2} + x + 1\right) \left(x^{4} + x + 1\right) \left(x^{4} + x^{3} + 1\right) \left(x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1\right)$

方法如下:

关于常系数高阶线性方程中所使用的辅助方程法

Fri, 21 Jan 2022 00:00:00 +0000

Abstract

这是一篇小报告，在上交之后我发表在这里。
对于常系数高阶线性方程的第二类待定系数法解，其的计算实在过于麻烦。于是[1]中提及一种简便方法来得到结果，那就是辅助方程法。但不管是网络上还是其他书籍里都少有相关方法的介绍，所以我在这里做一个简单的解释和总结。

原理

简单来说这是对欧拉恒等式的灵活运用，当在实数域时，一个 $a+bi$ 可以看作 $Rank=2$ ，但在复数域内则有 $Rank=1$ 。

辅助方程法的一个出发点是叠加原理，如下所示：

定理 1 (叠加原理). 设 $L[y]$ 为线性微分算子，若：

$y_1(x)$ 是 $L[y]=f_1(y)$ 的解；
$y_2(x)$ 是 $L[y]=f_2(y)$ 的解；

则有 $y_1(x)+y_2(x)$ 是 $L[y]=f_1(x)+f_2(x)$ 的解。

通过叠加原理我们可以组合不同的方程来得到一个组合解，与下面的独立性原理组合就能导出辅助方程方法。

定理 2 (独立性). 对于 $a+bi(a,b\in\mathbb R)$ ，其中 $a$ 与 $b$ 线性无关。

对于常微分方程这门课来说，我们利用复函数的目的是导出实函数解。考虑第二类其实是由第一类转换而得，显然我们可以通过第一类待定系数法来简化计算。

辅助方程法的步骤与构造方法

我们以 $y''+y=\frac12\cos x$ 为例。

例 1. 求解 $y''+y=\frac12\cos x$ 。

解. 对于 $\frac12\cos x$ ，我们可以对 $\frac12e^{ix}$ 展开得到。那么我们就设一方程为 $y''+y=\frac12e^{ix}$ 。

首先求得特征根 $\lambda_{1,2}=\pm i$ ，也即 $i$ 是一重特征根，由第一类方法即得解 $\phi_1(x)=-\frac i4xe^{ix}=\frac x4\sin x-\frac i4x\cos x$ 由独立性，显然 $y''+y=\frac12e^{ix}=\frac12\cos x+\frac i2\sin x$ 在 $\mathbb R$ 和 $\mathbb C\backslash\mathbb R\cup \{0\}$ 上有分别的解。这样就可以得出 $\frac x4\sin x$ 是 $y''+y=\frac12\cos x$ 的特解，而 $\frac x4\cos x$ 是 $y''+y=\frac12\sin x$ 的特解。 ◻

对于同样的例子，如果我们使用经典的第二类待定系数法来解，则会得到以下过程：

由一重特征根设特解为 $\phi(x)=x(A\cos x+B\sin x)$ ，对式子求导得 $\phi''(x)=(2B-Ax)\cos x-(A+Bx)\sin x$ 。由是得 $\phi''+\phi=2B\cos x+(Bx-A-Bx)\sin x=\frac12\cos x$ ，由 $\cos x$ 与 $\sin x$ 的正交性可得方程组 $\begin{align} 2B&=\frac12\\ (-A)&=0 \end{align}$ 由是解得 $B=\frac14$ ，即有同上的解。

About Uniform

Tue, 06 Jul 2021 00:00:00 +0000

All numbers discussed here is in $\mathbb{R}$

What I'd like to discuss here is all about uniform concepts I've learnt since. And I wanna summarize them.

About uniform continuity

In calculus, there exists a concept called Continuity as expressed: $f(x)$ is continuous at $x_0 \iff$ $\forall \varepsilon \in \mathbb{R} \exists \delta \in \mathbb{R} \text{s.t.} |x-x_{0}|<\delta\implies |f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon$

As is seen above, $\delta$ is somewhere dependent towards $x_0$ . What if we genernalize that idea such that $\delta$ shall be dependent not to $x_0$ but to an interval? Just modify the concept as below: $f(x)$ is uniform continuous at interval $\mathbf{I}\iff$ $\forall\varepsilon\in\mathbb{R}\exists \delta\in\mathbb{R},\forall x_1,x_2\in\mathbf{I} : |x_1-x_2|<\delta \implies |f(x_1)-f(x_2)<\varepsilon|$

关于不变子空间和同时对角化问题

Mon, 21 Jun 2021 23:24:16 +0000

线性空间的不变子空间是一个重要概念. 他实际上类似于环的理想. 下面给出定义.

设 $\mathcal{A}$ 是数域 $P$ 上线性空间 $V$ 的线性变换, $W$ 是 $V$ 的一个子空间.如果 $W$ 中的向量在 $\mathcal{A}$ 的像仍在 $W$ 中,则称 $W$ 为 $\mathcal{A}$ 的不变子空间, 也称 $\mathcal A$ -子空间. 形象的话来描述就是

$\forall{\xi\in W},\mathcal{A}\xi\in W.$

最平凡的不变子空间自然是 $V$ 本身以及 ${0}$ 子空间.我们下面来讨论一些不那么平凡的不变子空间. 首先则是 $\mathcal{A}(V)$ 和 $\mathcal{A}^{-1}(0)$ .

$\forall{\xi}\in\mathcal{A}(V),\mathcal{A}\xi\in\mathcal{A}(V)$

$\forall{\xi}\in\mathcal{A}^{-1}(0),\mathcal{A}\xi=0\in\mathcal A^{-1}(0)$

另外也有 $\mathcal A$ 与 $\mathcal B$ 可交换 $\Leftrightarrow$ $\mathcal B(V)$ 和 $\mathcal B^{-1}(0)$ 是 $\mathcal A-$ 子空间.

$\forall{\mathcal B\xi}\in\mathcal B(V),\mathcal A(\mathcal B\xi)=\mathcal B(\mathcal A\xi)\in\mathcal B(V)$

$\forall{\xi} \in\mathcal B^{-1}(0),\mathcal B(\mathcal A\xi)=\mathcal A0=0$

通过这些例子,我们理解到事实上 $\mathcal A-$ 不变子空间就是对 $\mathcal A$ 运算封闭的空间, $\xi$ 落在里面,则 $\mathcal A\xi$ 还落在里面.落在里面更形象地来说就是仍保有该空间的性质.

类似地我们来看一道题.

设 $\mathcal{A,B}$ 是复线性空间 $V$ 上的线性变换,且 $\mathcal{AB}-\mathcal{BA}=\mathcal A$ ,试证明: $\mathcal{A,B}$ 有公共特征向量.

设 $V_0$ 为 $\mathcal B$ 的特征根 $\lambda$ 的线性空间.

$\begin{aligned} \forall\xi\in V_0,\mathcal{AB}\xi-\mathcal{BA}\xi=\mathcal A\xi\\ \lambda \mathcal A\xi-\mathcal{BA}\xi=\mathcal A\xi\\ \mathcal B(\mathcal A\xi)=(\lambda-1)\mathcal A\xi \end{aligned}$

即 $\mathcal B$ 存在 $\lambda-1$ 的特征根,考虑 $(\mathcal A-\lambda'\mathcal E)\xi=0$ 的解.由于 $\mathcal A$ 必然存在特征向量,则该向量同时属于 $\mathcal B$ 的特征根 $(\lambda-1)$ 的特征空间和 $\mathcal A$ 的特征根 $\lambda'$ 的特征空间.得证.

我们来继续深入对不变子空间的认识.

$\mathcal A-$ 子空间的交与和也是 $\mathcal A-$ 子空间.

考虑一致连续定理的证明思路

Mon, 14 Jun 2021 00:17:59 +0000

一致连续性定理

也称 Cantor定理 , 叙述如下:

Cantor定理 闭区间连续函数一致连续.

考虑证明思路?

如果用常规思路判断,则可以列出要证的定理: $\forall{\epsilon>0;a,b\in\mathbf{I}}\exists{\delta>0}, |a-b|<\delta\rightarrow|f(a)-f(b)|<\epsilon$ 而由连续知 $\forall{\epsilon>0;x_0 \in\mathbf{I}}\exists{\delta>0}, |x-x_0|<\delta\rightarrow|f(x)-f(x_0)|<\epsilon\tag{1}$ 对于 $\forall x_0\exists\delta$ 使上式成立, 若取 $\delta = \max\{\delta_0,\delta_1,\cdots,\delta_n,\cdots\}$ 则可证.

但是此处取 $\delta_k$ 实际上涉及到未解决的无穷个取值, 则不能这样考虑. 由是自然想到反证: 是否存在 $\exists\epsilon>0\forall\delta>0\exists a,b\in \mathbf{I},|a-b|<\delta\rightarrow|f(a)-f(b)|>\epsilon$ 选取点列 $\delta_0,\delta_1,\cdots$ 使满足 $\forall{k\in\mathbb{N}},\delta_k>\delta_{k+1}>0$ , 由是可标记对应的 $|a_k-b_k|<\delta_k$ . 由聚点定理知, 有界点列有收敛子列, 则有 $b_{n_k}\rightarrow x_0$ .

取出对应的子列则有 $\exists\epsilon>0;C\in \mathbf{I}\forall\delta>0,|a-C|<\delta\rightarrow|f(a)-f(C)|>\epsilon\tag{2}$ 而 $(1)$ 与 $(2)$ 矛盾,由是 $\forall{\epsilon>0;a,b\in\mathbf{I}}\exists{\delta>0}, |a-b|<\delta\rightarrow|f(a)-f(b)|<\epsilon$ 成立.

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Wed, 19 Feb 2020 23:48:12 +0000