Secante (matemáticas)

A secante, é a razón trigonométrica recíproca do coseno:

$\sec \alpha ={\frac {1}{\cos \alpha }}={\frac {c}{b}}$

Forma xeométrica

Temos que, calculando a partir da circunferencia de raio unidade:

$\sec \alpha ={\frac {\overline {AB}}{\overline {AC}}}={\frac {\overline {AE}}{\overline {AD}}}={\frac {\overline {AE}}{1}}={\overline {AE}}$

Representación gráfica

Partindo da definición de secante como a recíproca do coseno:

Coñecendo a función do coseno, podemos ver que para os valores nos que o coseno vale cero, a secante faise infinito, se a función coseno tende a cero desde valores positivos a secante tende a: $+\infty$.

$\lim _{\alpha \to {\frac {\pi }{2}}^{-}}\cos(\alpha )=0^{+}$

$\lim _{\alpha \to {\frac {\pi }{2}}^{-}}\sec(\alpha )={\cfrac {1}{{\underset {\alpha \to {\frac {\pi }{2}}^{-}}{\lim }}\;\cos(\alpha )}}={\cfrac {1}{0^{+}}}=+\infty$

mentres que cando o coseno tende a cero desde valores negativos a secante tende a: $-\infty$.

$\lim _{\alpha \to {\frac {\pi }{2}}^{+}}\cos(\alpha )=0^{-}$

$\lim _{\alpha \to {\frac {\pi }{2}}^{+}}\sec(\alpha )={\cfrac {1}{{\underset {\alpha \to {\frac {\pi }{2}}^{+}}{\lim }}\;\cos(\alpha )}}={\cfrac {1}{0^{-}}}=-\infty$

Cando o coseno do ángulo vale un, a súa secante tamén vale un, como se pode ver na gráfica.

Valores significativos

Pódese obter facilmente unha táboa con algúns valores significativos lembrando que $\sec x={1 \over \cos x}$:

$x$ en radiáns	0	${\frac {\pi }{12}}$	${\frac {\pi }{6}}$	${\frac {\pi }{4}}$	${\frac {\pi }{3}}$	${\frac {5}{12}}\pi$	${\frac {\pi }{2}}$	$\pi$	${\frac {3\pi }{2}}$	$2\pi$
$x$ en graos	0°	15°	30°	45°	60°	75°	90°	180°	270°	360°
$\sec(x)$	$1$	${\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}$	${\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$	${\sqrt {2}}$	$2$	${\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}$	$\nexists$	$-1$	$\nexists$	$1$

Derivadas

As derivadas obtéñense lembrando a súa definición e aplicando a regra do cociente:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\sec x={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {1}{\cos x}}={\frac {\sin x}{\cos ^{2}x}}=\sec x\cdot \tan x.$

${\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\sec x={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\tan x}{\cos x}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\sin x}{\cos ^{2}x}}={\frac {1+\sin ^{2}x}{\cos ^{3}x}}=\sec ^{3}x\left(1+\sin ^{2}x\right).$

Relación trigonométrica secante-cosecante

Consecuencia da primeira relación fundamental da trigonometría $(\cos ^{2}x+\sin ^{2}x=1)$ é a seguinte relación entre a secante e a cosecante:

$\mathrm {cosec} ^{2}x+\sec ^{2}x=\mathrm {cosec} ^{2}x\cdot \sec ^{2}x$

para todo $x\neq k{\pi \over 2}$ con $k\in \mathbb {Z}$.

A relación obtense facilmente dividindo a relación fundamental por $\sin ^{2}x\cdot \cos ^{2}x$.

Véxase tamén

Bibliografía

1. Cobo Mérida, Purificación (2008). Trigonometría, 4 ESO. Materiales Didacticos Bemal. ISBN 978-84-612-6049-2. 

Ligazóns externas

• Weisstein, Eric W. "Secante". MathWorld. 
• Trigonometría
• Aula Virtual de Trigonometría