masterkaffah

Mei 27, 2012

Kunci 14

Tunjukkan Himpunan P

$P= \left \{ \begin{pmatrix} 0_{} & 0_{} & s_{}\\ 0_{} & 0_{} & 0_{}\\ 0_{} & 0_{} & 0_{} \end{pmatrix}\left |s\in \mathbb{R} \right \right \}$

membentuk ideal di S. no 7

(jawab)

ambil sebarang

$\small \dpi{100} \fn_jvn k,l\in P, m\in S$

akan ditunjukkan
$\small \dpi{100} \fn_jvn k+l\in P, km\in P,mk\in P$
$\small \dpi{100} \fn_jvn k=\begin{pmatrix} 0_{} & 0_{} & k_{}\\ 0_{} & 0_{} & 0_{}\\ 0_{} & 0_{} & 0_{} \end{pmatrix}$
$\small \dpi{100} \fn_jvn l=\begin{pmatrix} 0_{} & 0_{} & l_{}\\ 0_{} & 0_{} & 0_{}\\ 0_{} & 0_{} & 0_{} \end{pmatrix}$
$\small \dpi{100} \fn_jvn m=\begin{pmatrix} j_{} & g_{} & h_{}\\ 0_{} & d_{} & t_{}\\ 0_{} & 0_{} & w_{} \end{pmatrix}$

$\small \dpi{100} \fn_jvn k+l=\begin{pmatrix} 0+0_{} & 0+0_{} & k+l_{}\\ 0+0_{} & 0+0_{} & 0+0_{}\\ 0+0_{} & 0+0_{} & 0+0_{} \end{pmatrix}$

$\small \dpi{100} \fn_jvn k+l=\begin{pmatrix} 0_{} & 0_{} & k+l_{}\\ 0_{} & 0_{} & 0_{}\\ 0_{} & 0_{} & 0_{} \end{pmatrix}$

$\small \dpi{100} \fn_jvn km=\begin{pmatrix} 0_{} & 0_{} & k_{}\\ 0_{} & 0_{} & 0_{}\\ 0_{} & 0_{} & 0_{} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} j_{} & g_{} & h_{}\\ 0_{} & d_{} & t_{}\\ 0_{} & 0_{} & w_{} \end{pmatrix}$

$\small \dpi{100} \fn_jvn km=\begin{pmatrix} 0g+00+k0_{} & 0g+0d+k0_{} & 0h+0t+kw_{}\\ 0g+00+00_{} & 0g+0d+00_{} & 0h+0t+0w_{}\\ 0g+00+00_{} & 0g+0d+00_{} & 0h+0t+0w_{} \end{pmatrix}$

$\small \dpi{100} \fn_jvn km=\begin{pmatrix} 0_{} & 0_{} & kw_{}\\ 0_{} & 0_{} & 0_{}\\ 0_{} & 0_{} & 0_{} \end{pmatrix}$

$\small \dpi{100} \fn_jvn mk=\begin{pmatrix} 0j+0g+h0_{} & 0j+0g+h0_{} & jk+0g+oh_{}\\ 00+d0+t0_{} & 00+0d+t0_{} & 0k+0d+0t_{}\\ 00+00+w0_{} & 00+00+w0_{} & 0k+00+0w_{} \end{pmatrix}$ $\small \dpi{100} \fn_jvn mk=\begin{pmatrix} 0_{} & 0_{} & kj_{}\\ 0_{} & 0_{} & 0_{}\\ 0_{} & 0_{} & 0_{} \end{pmatrix}$

karena $\small \dpi{100} \fn_jvn k+l\in P, km\in P,mk\in P$ maka Himpunan P ideal di S

(soal utama)

Posted by prof on Mei 27, 2012 in Uncategorized.

1 Komentar

Mei 27, 2012

Kunci 13

Tunjukkan jika Z₄gelanggang maka Z4 gelanggang komutatif

jawab.

terhadap operasi penjumlahan.

+	0	1	2	3
0	0	1	2	3
1	1	2	3	0
2	2	3	0	1
3	3	0	1	2

x	1	2	3
0	0	0	0
1	1	2	3
2	2	0	2
3	3	2	1

Ambil sebarang

$\fn_cm a,b\in Z_{4}$

akan ditunjukkan

$\small \dpi{100} \fn_jvn ab=ba$

x	1	2	3
0	0	0	0
1	1	2	3
2	3	0	2
3	3	2	1

$\small \dpi{100} \fn_jvn 1x2=2x1=2$

$\small \dpi{100} \fn_jvn 3x2=2x3=2$

berdasarkan tabel diatas terbukti bahwa Z4 adalah gelanggang komutatif

(soal utama)

Posted by prof on Mei 27, 2012 in Uncategorized.

1 Komentar

Mei 27, 2012

Kunci 12

Apakah M_2×2gelanggang komutatif

$ambil ,x,y\in M_{2x2}$
$x=\begin{pmatrix} x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22} \end{pmatrix}$ $y=\begin{pmatrix} y_{11} & y_{12} \\ y_{21} & y_{22} \end{pmatrix}$

akan ditunjukkan

$xy=yx$
$xy=\begin{pmatrix} x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} y_{11} & y_{12} \\ y_{21} & y_{22} \end{pmatrix}$
$xy=\begin{pmatrix} x_{11}y_1_1+x_1_2y_2_1 & x_{11}y_1_2+x_1_2y_2_2 \\ x_{21}y_1_1+x_2_2y_2_1 & x_{21}y_1_2+x_2_2y_2_2 \end{pmatrix}$
$yx=\begin{pmatrix} y_{11}x_1_1+y_1_2x_2_1 & y_{11}x_1_2+y_1_2x_2_2 \\ y_{21}x_1_1+y_2_2x_2_1 & y_{21}x_1_2+y_2_2x_2_2 \end{pmatrix}$
$xy\neq yx$

maka M2x2 bukan gelanggang komutatif.

(soal utama)

Posted by prof on Mei 27, 2012 in Uncategorized.

1 Komentar

Mei 27, 2012

Kunci 11

$Inti\left ( \varphi \right )= \left \{ r\left | r\in \mathbb{R},\varphi \left ( r \right ) \right= 0 \right \}$

Buktikan inti homomorfisma gelanggang

$\varphi :R\rightarrow S$

membentuk ideal dari R.

karena
$\varphi \left ( x \right )= 0$

maka
$Inti\left ( \varphi \right )\neq 0$

ambil $x,y\in \mathbb{R}$
dan $r\in \mathbb{R}$ , sehingga
$\varphi \left ( x+y \right )= \varphi \left ( x \right )+\varphi \left ( y \right )= 0$ $\varphi \left ( x+y \right )= \varphi \left ( x \right )+\varphi \left ( y \right )= 0$
$\varphi \left ( ry \right )= \varphi \left ( r \right )\varphi \left ( y \ \right )= 0$
$\varphi \left ( xr \right )=\varphi \left ( x \right )\varphi \left ( r \right )=0$

Kita peroleh $x+y,rx,xr \in Inti\left ( \varphi \right )$ .

Jadi $Inti\left ( \varphi \right )$ membentuk ideal di $\mathbb{R}$

(soal utama)

Posted by prof on Mei 27, 2012 in Uncategorized.

1 Komentar

Mei 27, 2012

Kunci 10

Jika R dan R gelanggang periksalah pemetaan

$\Theta : \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$

$\Theta = \left \{ 2x+3\left | x\in \mathbb{R} \right \right \}$

membentuk homomorfisma gelanggang.

jawab.

ambil sebarang

$\small \dpi{100} \fn_jvn x,y\in \Theta$

akan ditunjukkan

$\small \dpi{100} \fn_jvn \Theta \left ( x+y \right )=\Theta \left ( x \right )+\Theta \left ( y \right )$

$\small \dpi{100} \fn_jvn \Theta \left ( xy \right )=\Theta \left ( x \right )\Theta \left ( y \right )$

$\small \dpi{100} \fn_jvn \Theta \left ( xy \right )=2xy+3$

$\small \dpi{100} \fn_jvn \Theta \left ( x \right )=2x+3$

$\small \dpi{100} \fn_jvn \Theta \left ( y \right )=2y+3$

$\small \dpi{100} \fn_jvn \Theta \left ( x \right )\Theta \left ( y \right )= 4xy+6x+6y+9$

karena

$\small \dpi{100} \fn_jvn \Theta \left ( xy \right )\neq \Theta \left ( x \right )\Theta \left ( y \right )$

maka $\small \dpi{100} \fn_jvn \Theta$ tidak homomorfisma gelanggang.

(soal utama)

Posted by prof on Mei 27, 2012 in Uncategorized.

1 Komentar

Mei 27, 2012

Kunci 9

Tunjukkan Himpunan S membentuk gelanggang komutatif

$\small \dpi{80} \fn_jvn S=\left \{ \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix},a,b\in \mathbb{}\mathbb{R} \right \}$

ambil sebarang

$\small \dpi{80} \fn_jvn x,y\in S$

akan dibuktikan

$\small \dpi{80} \fn_jvn xy=yx$

jawab

$\small \dpi{80} \fn_jvn x=\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix}$
$\small \dpi{80} \fn_jvn y=\begin{pmatrix} p & 0 \\ 0 & q \end{pmatrix}$
$\small \dpi{80} \fn_jvn xy=\begin{pmatrix} ap & 0 \\ 0 & bq \end{pmatrix}$
$\small \dpi{80} \fn_jvn yx=\begin{pmatrix} ap & 0 \\ 0 & bq \end{pmatrix}$

karena $\small \dpi{80} \fn_jvn xy=yx$ , maka S gelanggang komutatif.

(s0al utama)

Posted by prof on Mei 27, 2012 in Uncategorized.

1 Komentar

Mei 27, 2012

kunci 8

Tunjukkan bahwa Himpunan T

$T=\left \{ a\oplus b= ab+2,a\otimes b= ba ,a,b\in \mathbb{R} \right \}$

membentuk gelanggang

ambil sebarang

$\small \dpi{80} \fn_jvn a,c,b\in T$

akan dibuktikan

$\small \dpi{80} \fn_jvn a\oplus b=b\oplus a$ terhadap operasi penjumlahan

$\small \dpi{80} \fn_jvn \left ( ab \right )c=a\left ( bc \right )$ terhadap operasi perkalian

terdapat unsur identitas perkalian

distributif $\small \dpi{80} \fn_jvn a\otimes \left ( b\oplus c \right )= ab\oplus ac , (a\oplus b)\otimes c=ac\oplus bc$

jawab.

$\small \dpi{80} \fn_jvn a\oplus b= ab+2$
$\small \dpi{80} \fn_jvn a\oplus b= ba+2$
$\small \dpi{80} \fn_jvn a\oplus b=b\oplus a$
$\small \dpi{80} \fn_jvn \left ( ab \right )c=bac$
$\small \dpi{80} \fn_jvn \left ( ab \right )c=acb$
$\small \dpi{80} \fn_jvn \left ( ab \right )c=a\left ( bc \right )$
$\small \dpi{80} \fn_jvn 1a=a1=a, a\in T$

sifat distributif silahkan dicoba,

karena $\small \dpi{80} \fn_jvn a\oplus b=b\oplus a$ , $\small \dpi{80} \fn_jvn \left ( ab \right )c=a\left ( bc \right )$ , $\small \dpi{80} \fn_jvn 1a=a1=a, a\in T$

Kesimpulannya T adalah gelanggang.

(soal utama)

Posted by prof on Mei 27, 2012 in Uncategorized.

1 Komentar

Mei 27, 2012

Kunci 7b

Tunjukkan Himpunan I

$I= \left \{ ,\begin{pmatrix} 0_{} & p_{} & q_{}\\ 0_{} & 0_{} & r_{}\\ 0_{} & 0_{} & 0_{} \end{pmatrix},p,q,r \in \mathbb{R} \right \}$

Membentuk ideal di S

(jawab)

ambil sebarang
$\small \dpi{80} \fn_jvn a,b\in I, c\in S$

akan ditunjukkan

$\small \dpi{80} \fn_jvn a+b\in I, ac\in I,ca\in I$

$\small \dpi{80} \fn_jvn a=\begin{pmatrix} 0_{} & a_{} & b_{}\\ 0_{} & 0_{} & c_{}\\ 0_{} & 0_{} & 0_{} \end{pmatrix}, b=\begin{pmatrix} 0_{} & p_{} & q_{}\\ 0_{} & 0_{} & r_{}\\ 0_{} & 0_{} & 0_{} \end{pmatrix}$
$\small \dpi{80} \fn_jvn c=\begin{pmatrix} k_{} & l_{} & m_{}\\ 0_{} & n_{} & o_{}\\ 0_{} & 0_{} & p_{} \end{pmatrix}$

$\small \dpi{80} \fn_jvn a+b=\begin{pmatrix} 0_{} & a+p_{} & b+q_{}\\ 0_{} & 0_{} & c+r_{}\\ 0_{} & 0_{} & 0_{} \end{pmatrix}$
$\small \dpi{80} \fn_jvn ac=\begin{pmatrix} 0_{} & an_{} & ao+bp_{}\\ 0_{} & 0_{} & cp_{}\\ 0_{} & 0_{} & 0_{} \end{pmatrix}$
$\small \dpi{80} \fn_jvn ca=\begin{pmatrix} 0_{} & ak_{} & kb+lc_{}\\ 0_{} & 0_{} & cn_{}\\ 0_{} & 0_{} & 0_{} \end{pmatrix}$

karena

$\small \dpi{80} \fn_jvn a+b\in I, ac\in I,ca\in I$

maka I ideal di S

(soal utama)

Posted by prof on Mei 27, 2012 in Uncategorized.

1 Komentar

Mei 27, 2012

kunci 7a

Tunjukkan terhadap operasi tambah dan operasi kali matriks ( S, +, x ) membentuk gelanggang komutatif.

$S= \left \{ ,\begin{pmatrix} a_{} & b_{} & c_{}\\ 0_{} & d_{} & e_{}\\ 0_{} & 0_{} & f_{} \end{pmatrix}a,b,c,d,e,f \in \mathbb{R} \right \}$

(jawab)

ambil sebarang
$\small \dpi{80} \fn_cs x,y\in S$

akan ditunjukkan

$\small \dpi{80} \fn_jvn xy=yx$
$\small \dpi{80} \fn_jvn x=\begin{pmatrix} a_{} & b_{} & c_{}\\ 0_{} & d_{} & e_{}\\ 0_{} & 0_{} & f_{} \end{pmatrix}$
$\small \dpi{80} \fn_jvn y=\begin{pmatrix} p_{} & q_{} & r_{}\\ 0_{} & s_{} & t_{}\\ 0_{} & 0_{} & u_{} \end{pmatrix}$
$\small \dpi{80} \fn_jvn xy=\begin{pmatrix} ap_{} & aq+bs_{} & ar+bt+cu_{}\\ 0_{} & ds_{} & dt+eu_{}\\ 0_{} & 0_{} & fu_{} \end{pmatrix}$
$\small \dpi{80} \fn_jvn yx=\begin{pmatrix} pa_{} & pb+qd_{} & pc+qe+rf_{}\\ 0_{} & sd_{} & se+tf_{}\\ 0_{} & 0_{} & uf_{} \end{pmatrix}$