IMPA - O Instituto de Matemática Pura e Aplicada

In this talk we discuss how one can learn and use spectral decomposition of Langevin dynamics from data. We show how to pose the learning problem appropriately so that learning can accommodate true equilibrium data, as well as samples from its approximations. The latter being essential in study of molecular systems such as proteins, where the exact data acquisition can be prohibitively expensive. The summary of the talk can be expressed as: learning the right operator in the right geometry yields reliable and scalable algorithms.

A teoria mínimamáx da função comprimento/área no espaço de hipersuperfícies de um coletor Riemanniano compacto define vários números, chamados de larguras mínimamáx, que são valores críticos da função. Discutiremos situações em que o conhecimento desses números permite recuperar, total ou parcialmente, propriedades geométricas do próprio coletor. Este é um trabalho conjunto com F. Marques e A. Neves.

On 16 August 2024, Ana Cascon and I posted a short article entitled Predicting the Unpredictable on our website. It defined a simple affine invariant ‘tail measure’ $\alpha(F)$ defined for any distribution $F$ whose domain is bounded below and which has a finite first moment, such that $\alpha(F) > 1$. We also revealed an exceptional 1-parameter family of distributions $CSS_\lambda$, $\lambda> 1$, defined on $[0, +\infty]$, such that $\alpha(CSS_\lambda)=\lambda$ and $CSS_\lambda$ is in the domain of attraction of a Fr\'{e}chet distribution with parameter $\lambda$. Because we can regard any data sample as an empirical distribution this provides us with a canonical distributional model for the data, with tail behaviour determined uniquely by the data set. This transforms the data analysis of extremes and of natural variability and has already achieved strikingly accurate predictions in examples from epidemic growth, financial market risk, number theory, hurricane frequency and many more. These predictions would have been impossible using previous statistical technology.

This is the third of a series of talks covering the three exceptional distribution cases to put the CSS family in its appropriate setting and then turn to examples of its applications. Cartan’s method for discovering the differential invariants for a group action reduces in the cases considered to a simple application which can be understood fully using only advanced calculus–so we will begin with the geometry of the affine group actions. This will be followed by an exposition of the constant differential invariant characterisations of Extreme Value and Lévy Stable distributions. The course will conclude with CSS applications to data that illustrate the power of this new approach and some discussion of open problems.

Uma antiga pergunta que vem do Programa Erlangen de Klein pode ser formulada
em termos modernos como: Um determinado objeto geométrico é determinado exclusivamente por
seu grupo de simetrias? A primeira parte desta palestra consiste em uma
introdução ao problema com alguns exemplos selecionados de fora da
geometria algébrica.

Na segunda parte da palestra, chegamos ao cenário da geometria
algébrica, onde mostramos que, em geral, a resposta à pergunta
acima é negativa. Depois de restringir a classe de variedades,
mostraremos um exemplo em que a resposta é afirmativa. De fato, mostramos que
superfícies tóricas afins complexas são determinadas pela estrutura do grupo abstrato
de seus grupos de automorfismo regular na categoria de
superfícies afins normais complexas usando propriedades do grupo de Cremona.

Provamos resultados de exclusividade para discos capilares em domínios tridimensionais que são modelados por um PDE elíptico, sob a suposição de que o domínio admite uma família de superfícies com propriedades adequadas. Nosso teorema principal generaliza o resultado de Nitsche para discos capilares de curvatura média constante na esfera euclidiana e é inspirado na extensão do teorema de unicidade de Hopf para esferas de curvatura média constante no espaço euclidiano, de Gálvez e Mira.

Seja M uma superfície completa, conectada e adequadamente inserida em R^3 com uma curva plana convexa C como limite, satisfazendo uma equação elíptica H=f(H^2-K), em que H e K são a curvatura média e a curvatura de Gauss, respectivamente - que chamaremos de equação de Weingarten. Nesta palestra, discutiremos como as simetrias de C podem induzir simetrias de todo o M. Quando M está contido em um dos dois meios-espaços determinados por C, fornecemos condições suficientes para que M herde as simetrias de C. Em particular, quando M é limitado verticalmente de forma cilíndrica, obtemos que M é rotacional se C for um círculo. No caso em que a equação de Weingarten é linear, fornecemos uma condição suficiente para que essa superfície esteja contida em um semi-espaço. Ambos os resultados são generalizações dos resultados de Rosenberg e Sa Earp, para superfícies de curvatura média constante, para a configuração de Weingarten. Em particular, nossos resultados também recuperam e generalizam o caso da curvatura média constante.