Ordnet par

Punkt i et kartesisk koordinatsystem i planet er ordnede par

Et ordnet par er i mengdelære en gruppering av to uavhengige objekter, hvor det første kalles første koordinat og det andre kalles andre koordinat. Vanlig notasjon for et ordnet par er (a,b) eller <a,b>.

To ordnede par (a,A) og (b,B) er like hvis og bare hvis a = b og A = B. Generelt trenger ikke a og A være objekter fra samme mengde.

Ordnede par danner grunnlaget for en formell introduksjon av binære relasjoner og funksjoner.

Formell definisjon

Ofte blir et ordnet par ikke presist definert, og likhet mellom to ordnete par blir tatt underforstått eller som et aksiom. I en mengde $\lbrace a,b\rbrace$ vil rekkefølgen til elementene ikke ha betydning, men fra en slik mengde kan en formelt definere et ordnet par med $a$ som første koordinat og $b$ som andre koordinat ved

$(a,b)=\lbrace \lbrace a\rbrace ,\lbrace a,b\rbrace \rbrace .$

Fra denne definisjonen kan en vise at to ordnede par er like hvis og bare hvis de to førstekoordinatene er like og de to andreekoordinatene er like.

Denne mengdeteoretiske definisjonen ble først gitt av Kazimierz Kuratowski i 1921, etter at Norton Wiener hadde presentert en lignende definisjon i 1914. Definisjonen er historisk viktig, fordi den gjorde det mulig å knytte binære relasjoner og funksjoner til mengdelære.

En kunstig sideeffekt av mengdedefinisjonen er at

$\lbrace a,b\rbrace \subset (a,b)$.

Et ordnet par kan skrives både som $(a,b)$ og som $<a,b>$.

Eksempler

I et kartesisk koordinatsystem er et punkt i planet representert ved et ordnet par (x,y).

Et komplekst tall kan defineres som et ordnet par.

En binær relasjon kan defineres som en mengde av ordnede par.

En funksjon kan defineres som en mengde $S$ av ordnede par (x,f(x)). For å representere en funksjon må elementene i mengden oppfylle

$(x,y)\in S{\text{ og }}(x,z)\in S\Rightarrow x=z$.

Kartesiske produkt

Et kartesisk produkt av to mengder $A$ og $B$ er mengden av alle ordnede par med første koordinat fra $A$ og andre koordinat fra og $B$:

$A\times B=\lbrace \ (a,b)\ |\ a\in A{\text{ og }}b\in B\ \rbrace .$

Enhver mengde $R$ av ordnede par vil være en delmengde av et kartesisk produkt av to mengder. Definer

${\begin{alignedat}{2}C&=\lbrace a\ |\ \exists b:(a,b)\in R\ \rbrace \\D&=\lbrace b\ |\ \exists a:(a,b)\in R\ \rbrace \\\end{alignedat}}$

Da vil $R\subseteq C\times D$. Mengdene $C$ og $D$ kalles projeksjonene av $R$ på henholdsvis første og andre koordinat.

Se også

• Tuppel – en endelig ordnet liste av elementer