Teoria dos grupos

O popular quebra-cabeça do cubo de Rubik inventado em 1974 por Ernő Rubik tem sido usado como uma ilustração de grupos de permutação. Ver o grupo do cubo de Rubik

Na álgebra abstrata, a teoria dos grupos estuda as estruturas algébricas conhecidas como grupos. O conceito de grupo é central para a álgebra abstrata: outras estruturas algébricas bem conhecidas, como anéis, campos e espaços vetoriais, podem ser vistas como grupos dotados de operações e axiomas adicionais. Os grupos são recorrentes em toda a matemática, e os métodos da teoria dos grupos influenciaram muitas partes da álgebra. Grupos algébricos lineares e grupos de Lie são dois ramos da teoria de grupos que experimentaram avanços e se tornaram áreas temáticas por direito próprio.

Vários sistemas físicos, como cristais e o átomo de hidrogênio, e três das quatro forças fundamentais conhecidas no universo, podem ser modelados por grupos de simetria. Assim, a teoria dos grupos e a teoria de representação estreitamente relacionada têm muitas aplicações importantes na física, química e ciência dos materiais. A teoria de grupo também é central para a criptografia de chave pública.

O início da história da teoria dos grupos data do século XIX. Uma das conquistas matemáticas mais importantes do século XX foi o esforço colaborativo, ocupando mais de dez mil páginas de periódicos e publicados principalmente entre 1960 e 2004, que culminou em uma completa classificação dos grupos simples finitos.

Principais classes de grupos

Ver artigo principal: Grupo (matemática)

A variedade de grupos sendo considerada expandiu-se gradualmente de grupos de permutação finitos e exemplos especiais de grupos de matrizes para grupos abstratos que podem ser especificados através de uma apresentação por geradores e relações.

Grupos de permutação

A primeira classe de grupos a ser submetida a um estudo sistemático foi a dos grupos de permutação.

Dado qualquer conjunto X e uma coleção G de bijeções de X nele mesmo (conhecidas como permutações) que é fechada sob composições e inversos, G é um grupo que atua em X. Se X consistir em n elementos e G consistir em todas as permutações, G é o grupo simétrico S_n; em geral, qualquer grupo de permutação G é um subgrupo do grupo simétrico de X. Uma construção inicial devida a Cayley exibiu qualquer grupo como um grupo de permutação, atuando sobre si mesmo (X = G) por meio da representação regular à esquerda.

Em muitos casos, a estrutura de um grupo de permutação pode ser estudada utilizando as propriedades da sua ação no conjunto correspondente. Por exemplo, desta forma prova-se que para n ≥ 5, o grupo alternante A_n é simples, ou seja, não admite quaisquer subgrupos normais próprios. Este facto desempenha um papel fundamental na impossibilidade de resolver uma equação algébrica geral de grau n ≥ 5 em radicais.

Grupos de matrizes

A próxima classe importante de grupos é dada pelos grupos de matrizes, ou grupos lineares.

Aqui G é um conjunto que consiste em matrizes invertíveis de uma dada ordem n sobre um corpo K que é fechado sob produtos e inversos. Tal grupo atua no espaço vetorial de dimensão n Kⁿ através de transformações lineares. Esta ação torna os grupos de matrizes concetualmente semelhantes aos grupos de permutação, e a geometria da ação pode ser explorada de forma útil para estabelecer propriedades do grupo G.

Grupos de transformação

Os grupos de permutação e os grupos de matrizes são casos especiais de grupos de transformação: grupos que atuam num certo espaço X preservando a sua estrutura inerente. No caso dos grupos de permutação, X é um conjunto; para grupos de matrizes, X é um espaço vetorial. O conceito de um grupo de transformação está intimamente relacionado com o conceito de um grupo de simetria: os grupos de transformação consistem frequentemente em todas as transformações que preservam uma determinada estrutura.

A teoria dos grupos de transformação forma uma ponte que liga a teoria dos grupos à geometria diferencial. Uma longa linha de investigação, com origem em Lie e Klein, considera ações de grupo em variedades por homeomorfismos ou difeomorfismos. Os próprios grupos podem ser discretos ou contínuos.

Grupos abstratos

A maioria dos grupos considerados na primeira fase do desenvolvimento da teoria dos grupos eram "concretos", tendo sido realizados através de números, permutações ou matrizes. Foi só no final do século XIX que a ideia de um grupo abstrato começou a consolidar-se, onde "abstrato" significa que a natureza dos elementos é ignorada de tal forma que dois grupos isomorfos são considerados como o mesmo grupo. Uma forma típica de especificar um grupo abstrato é através de uma apresentação por geradores e relações,

$G=\langle S|R\rangle .$

Uma fonte significativa de grupos abstratos é dada pela construção de um grupo fator, ou grupo quociente, G/H, de um grupo G por um subgrupo normal H. Os grupos de classes de corpos de números algébricos estiveram entre os primeiros exemplos de grupos fatores, de grande interesse na teoria dos números. Se um grupo G for um grupo de permutação num conjunto X, o grupo fator G/H já não atua em X; mas a ideia de um grupo abstrato permite não nos preocuparmos com esta discrepância.

A mudança de perspetiva de grupos concretos para abstratos torna natural considerar as propriedades dos grupos que são independentes de uma realização particular, ou em linguagem moderna, invariantes sob isomorfismo, bem como as classes de grupos com uma dada propriedade dessas: grupos finitos, grupos periódicos, grupos simples, grupos solúveis, e assim por diante. Em vez de explorar as propriedades de um grupo individual, procura-se estabelecer resultados que se apliquem a toda uma classe de grupos. O novo paradigma foi de suma importância para o desenvolvimento da matemática: ele prenunciou a criação da álgebra abstrata nas obras de Hilbert, Emil Artin, Emmy Noether e matemáticos da sua escola.^{[carece de fontes]}

Grupos com estrutura adicional

Uma elaboração importante do conceito de um grupo ocorre se G for dotado de uma estrutura adicional, notavelmente, de um espaço topológico, variedade diferenciável ou variedade algébrica. Se a multiplicação e a inversão do grupo forem compatíveis com esta estrutura, isto é, se forem aplicações contínuas, suaves ou regulares (no sentido da geometria algébrica), então G é um grupo topológico, um grupo de Lie ou um grupo algébrico.

A presença de estrutura extra relaciona estes tipos de grupos com outras disciplinas matemáticas e significa que mais ferramentas estão disponíveis no seu estudo. Os grupos topológicos formam um domínio natural para a análise harmónica abstrata, enquanto os grupos de Lie (frequentemente realizados como grupos de transformação) são os pilares da geometria diferencial e da teoria de representação unitária. Certas questões de classificação que não podem ser resolvidas em geral podem ser abordadas e resolvidas para subclasses especiais de grupos. Assim, os grupos de Lie compactos e conexos foram completamente classificados. Existe uma relação frutuosa entre grupos abstratos infinitos e grupos topológicos: sempre que um grupo Γ puder ser realizado como um reticulado num grupo topológico G, a geometria e a análise pertencentes a G produzem resultados importantes sobre Γ. Uma tendência comparativamente recente na teoria dos grupos finitos explora as suas conexões com grupos topológicos compactos (grupos profinitos): por exemplo, um único grupo analítico p-ádico G tem uma família de quocientes que são p-grupos finitos de várias ordens, e as propriedades de G traduzem-se nas propriedades dos seus quocientes finitos.

Ramos da teoria dos grupos

Teoria dos grupos finitos

Ver artigo principal: Grupo finito

Durante o século XX, os matemáticos investigaram alguns aspetos da teoria dos grupos finitos com grande profundidade, especialmente a teoria local de grupos finitos e a teoria dos grupos solúveis e nilpotentes.^{[carece de fontes]} Como consequência, a classificação dos grupos simples finitos completa foi alcançada, o que significa que todos os grupos simples a partir dos quais todos os grupos finitos podem ser construídos são agora conhecidos.

[Image of symmetries of a regular polygon]

Durante a segunda metade do século XX, matemáticos como Chevalley e Steinberg também aumentaram a nossa compreensão dos análogos finitos dos grupos clássicos e de outros grupos relacionados. Uma dessas famílias de grupos é a família dos grupos lineares gerais sobre corpos finitos. Os grupos finitos ocorrem frequentemente ao considerar a simetria de objetos matemáticos ou físicos, quando esses objetos admitem apenas um número finito de transformações que preservam a sua estrutura. A teoria dos grupos de Lie, que pode ser vista como lidando com a "simetria contínua", é fortemente influenciada pelos grupos de Weyl associados. Estes são grupos finitos gerados por reflexões que atuam num espaço euclidiano de dimensão finita. As propriedades dos grupos finitos podem, assim, desempenhar um papel em disciplinas como a física teórica e a química.

Representação de grupos

Ver artigo principal: Teoria de representação

Dizer que um grupo $G$ atua num conjunto $X$ significa que cada elemento de $G$ define uma aplicação bijetiva no conjunto $X$ de forma compatível com a estrutura de grupo. Quando $X$ tem mais estrutura, é útil restringir ainda mais esta noção: uma representação de $G$ num espaço vetorial $V$ é um homomorfismo de grupos:

$\rho :G\to \operatorname {GL} (V),$

onde GL($V$) consiste nas transformações lineares invertíveis de $V$. Noutras palavras, a cada elemento do grupo $g$ é atribuído um automorfismo $\rho (g)$ tal que $\rho (g)\circ \rho (h)=\rho (gh)$ para qualquer $h$ em $G$.

Esta definição pode ser entendida em duas direções, ambas as quais dão origem a domínios inteiros novos da matemática. Por um lado, pode produzir novas informações sobre o grupo $G$: frequentemente, a operação de grupo em $G$ é dada abstratamente, mas através de $\rho$, corresponde à multiplicação de matrizes, que é muito explícita. Por outro lado, dado um grupo bem compreendido a atuar num objeto complicado, isto simplifica o estudo do objeto em questão. Por exemplo, se $G$ for finito, sabe-se que $V$ acima se decompõe em partes irredutíveis (veja o Teorema de Maschke). Estas partes, por sua vez, são muito mais fáceis de gerir do que todo o $V$ (através do Lema de Schur).

Dado um grupo $G$, a teoria de representação pergunta então quais as representações de $G$ que existem. Existem vários contextos, e os métodos empregados e os resultados obtidos são bastante diferentes em cada caso: a teoria de representação de grupos finitos e as representações de grupos de Lie são dois dos principais subdomínios da teoria. A totalidade das representações é governada pelos caracteres do grupo. Por exemplo, os polinómios de Fourier podem ser interpretados como os caracteres de U(1), o grupo dos números complexos de valor absoluto 1, a atuar no espaço L² das funções periódicas.

Teoria de Lie

Ver artigo principal: Teoria de Lie

Um grupo de Lie é um grupo que é também uma variedade diferenciável, com a propriedade de que as operações do grupo são compatíveis com a estrutura suave. Os grupos de Lie têm o nome de Sophus Lie, que lançou as bases da teoria dos grupos de transformações contínuos. O termo groupes de Lie apareceu pela primeira vez em francês em 1893 na tese do aluno de Lie Arthur Tresse, página 3.

Os grupos de Lie representam a teoria mais bem desenvolvida de simetria contínua de objetos e estruturas matemáticas, o que os torna ferramentas indispensáveis para muitas partes da matemática contemporânea, bem como para a física teórica moderna. Eles fornecem um enquadramento natural para analisar as simetrias contínuas de equações diferenciais (teoria de Galois diferencial), da mesma forma que os grupos de permutação são usados na teoria de Galois para analisar as simetrias discretas de equações algébricas. Uma extensão da teoria de Galois para o caso dos grupos de simetria contínua foi uma das principais motivações de Lie.

Teoria geométrica e combinatória de grupos

Ver artigo principal: Teoria geométrica de grupos

Os grupos podem ser descritos de diferentes maneiras. Os grupos finitos podem ser descritos escrevendo a tabela do grupo consistindo em todas as multiplicações possíveis $g\cdot h$. Uma maneira mais compacta de definir um grupo é por geradores e relações, também chamada de apresentação de um grupo. Dado qualquer conjunto $F$ de geradores $\{g_{i}\}_{i\in I}$, o grupo livre gerado por $F$ projeta-se sobrejacitivamente no grupo $G$. O núcleo desta aplicação é chamado de subgrupo de relações, gerado por algum subconjunto $D$. A apresentação é geralmente denotada por $\langle F\mid D\rangle .$ Por exemplo, a apresentação de grupo $\langle a,b\mid aba^{-1}b^{-1}\rangle$ descreve um grupo que é isomorfo a $\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} .$ Uma cadeia constituída por símbolos de geradores e os seus inversos é chamada de uma palavra.

A teoria combinatória de grupos estuda os grupos da perspetiva dos geradores e das relações. É particularmente útil onde os pressupostos de finitude são satisfeitos, por exemplo, grupos finitamente gerados, ou grupos finitamente apresentados (i.e., além disso as relações são finitas). A área faz uso da conexão de grafos através dos seus grupos fundamentais. Um teorema fundamental desta área é que todo o subgrupo de um grupo livre é livre.

Existem várias questões naturais que surgem ao dar um grupo pela sua apresentação. O problema da palavra pergunta se duas palavras são efetivamente o mesmo elemento do grupo. Ao relacionar o problema com máquinas de Turing, pode mostrar-se que em geral não existe nenhum algoritmo para resolver esta tarefa. Outro problema, geralmente mais difícil e algoritmicamente insolúvel, é o problema do isomorfismo de grupos, que pergunta se dois grupos dados por diferentes apresentações são de facto isomorfos. Por exemplo, o grupo com apresentação $\langle x,y\mid xyxyx=e\rangle ,$ é isomorfo ao grupo aditivo $\mathbb {Z}$ dos inteiros, embora isso possa não ser imediatamente aparente. (Escrevendo $z=xy$, tem-se $G\cong \langle z,y\mid z^{3}=y\rangle \cong \langle z\rangle .$)

O grafo de Cayley de ⟨ x, y ∣ ⟩, o grupo livre de posto 2

A teoria geométrica de grupos ataca estes problemas de um ponto de vista geométrico, quer vendo os grupos como objetos geométricos, quer encontrando objetos geométricos adequados sobre os quais um grupo atue. A primeira ideia é tornada precisa por meio do grafo de Cayley, cujos vértices correspondem a elementos do grupo e as arestas correspondem à multiplicação à direita no grupo. Dados dois elementos, constrói-se a métrica da palavra dada pelo comprimento do caminho mínimo entre os elementos. Um teorema de Milnor e Svarc diz então que, dado um grupo $G$ a atuar de forma razoável num espaço métrico $X$, por exemplo uma variedade compacta, então $G$ é quase-isométrico (isto é, parece semelhante à distância) ao espaço $X$.

Conexão entre grupos e simetria

Ver artigo principal: Grupo de simetria

Dado um objeto estruturado X de qualquer tipo, uma simetria é um mapeamento do objeto sobre si mesmo que preserva a estrutura. Isto ocorre em muitos casos, por exemplo:

• Se X for um conjunto sem estrutura adicional, uma simetria é uma aplicação bijetiva do conjunto nele mesmo, dando origem aos grupos de permutação.
• Se o objeto X for um conjunto de pontos no plano com a sua estrutura métrica ou qualquer outro espaço métrico, uma simetria é uma bijeção do conjunto nele mesmo que preserva a distância entre cada par de pontos (uma isometria). O grupo correspondente é chamado de grupo de isometrias de X.

• Se, em vez disso, os ângulos forem preservados, fala-se de mapeamentos conformes. Os mapeamentos conformes dão origem a grupos kleinianos, por exemplo.

• As simetrias não se restringem a objetos geométricos, mas incluem também objetos algébricos. Por exemplo, a equação $x^{2}-3=0$ tem as duas soluções ${\sqrt {3}}$ e $-{\sqrt {3}}$. Neste caso, o grupo que troca as duas raízes é o grupo de Galois pertencente à equação. Toda a equação polinomial de uma variável tem um grupo de Galois, que é um certo grupo de permutação sobre as suas raízes.

Os axiomas de um grupo formalizam os aspetos essenciais da simetria. As simetrias formam um grupo: são fechadas porque, se tomarmos uma simetria de um objeto e depois aplicarmos outra simetria, o resultado ainda será uma simetria. A identidade, que mantém o objeto fixo, é sempre uma simetria de um objeto. A existência de inversos é garantida por poder desfazer (anular) a simetria, e a associatividade advém do facto de que as simetrias são funções num espaço, e a composição de funções é associativa.

O Teorema de Frucht afirma que todo o grupo é o grupo de simetria de algum grafo. Logo, todo o grupo abstrato é, na verdade, as simetrias de algum objeto explícito.

A expressão "preservar a estrutura" de um objeto pode tornar-se precisa trabalhando numa categoria. As aplicações que preservam a estrutura são então os morfismos, e o grupo de simetria é o grupo de automorfismos do objeto em questão.

== Aplicações da teoria dos grupos ==As aplicações da teoria dos grupos são abundantes. Quase todas as estruturas da álgebra abstrata são casos especiais de grupos. Os anéis, por exemplo, podem ser vistos como grupos abelianos (correspondendo à adição) juntamente com uma segunda operação (correspondendo à multiplicação). Assim, os argumentos baseados na teoria dos grupos fundamentam grande parte da teoria dessas entidades.

Teoria de Galois

Ver artigo principal: Teoria de Galois

A teoria de Galois usa grupos para descrever as simetrias das raízes de um polinômio (ou, mais precisamente, os automorfismos das álgebras geradas por essas raízes). O teorema fundamental da teoria de Galois fornece uma ligação entre as extensões de corpos algébricos e a teoria dos grupos. Ele fornece um critério efetivo para a solubilidade das equações polinomiais em termos da solubilidade do grupo de Galois correspondente. Por exemplo, $S_{5}$, o grupo simétrico em 5 elementos, não é solúvel, o que implica que a equação do quinto grau geral não pode ser resolvida por radicais da maneira como as equações de grau inferior o podem. A teoria, sendo uma das raízes históricas da teoria dos grupos, continua a ser aplicada de forma frutuosa para produzir novos resultados em áreas como a teoria de corpos de classes.

Topologia algébrica

Ver artigo principal: Topologia algébrica

A topologia algébrica é outro domínio que associa, de forma proeminente (através de funtores), grupos aos objetos em que a teoria está interessada. Aí, os grupos são usados para descrever certos invariantes de espaços topológicos. Eles são chamados de "invariantes" porque são definidos de forma que não mudem se o espaço for submetido a alguma deformação. Por exemplo, o grupo fundamental "conta" quantos caminhos no espaço são essencialmente diferentes. A Conjectura de Poincaré, provada em 2002/2003 por Grigori Perelman, é uma aplicação proeminente desta ideia. No entanto, a influência não é unidirecional. Por exemplo, a topologia algébrica faz uso de espaços de Eilenberg-MacLane, que são espaços com grupos de homotopia prescritos. De forma semelhante, a teoria K algébrica baseia-se, de certa maneira, nos espaços classificatórios de grupos. Por fim, o próprio nome do subgrupo de torção de um grupo infinito reflete o legado da topologia na teoria dos grupos.

Um toro. A sua estrutura de grupo abeliano é induzida a partir da aplicação $\mathbb {C} \to \mathbb {C} /(\mathbb {Z} +\tau \mathbb {Z} )$, onde $\tau$ é um parâmetro que reside no semiplano superior.

Geometria algébrica

Ver artigo principal: Geometria algébrica

A geometria algébrica também usa a teoria dos grupos de diversas maneiras. As variedades abelianas foram introduzidas acima. A presença da operação de grupo produz informações adicionais que tornam estas variedades particularmente acessíveis. Elas também servem muitas vezes como um teste para novas conjecturas. (Por exemplo, a Conjectura de Hodge (em certos casos).) O caso unidimensional, nomeadamente o das curvas elípticas, é estudado com especial detalhe. Elas são intrigantes tanto do ponto de vista teórico quanto prático. Noutra direção, as variedades tóricas são variedades algébricas nas quais um toro atua. Os mergulhos toroidais levaram recentemente a avanços na geometria algébrica, em particular na resolução de singularidades.

Teoria algébrica dos números

Ver artigo principal: Teoria algébrica dos números

A teoria algébrica dos números usa grupos em algumas das suas aplicações importantes. Por exemplo, a fórmula do produto de Euler, $$\sum _{n\geq 1}{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p{\text{ primo}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}},$$ captura o facto de que qualquer número inteiro se decompõe de forma única em números primos. A falha desta afirmação em anéis mais gerais dá origem aos grupos de classes e aos primos regulares, que se destacam no tratamento de Kummer do Último Teorema de Fermat.

Análise harmónica

Ver artigo principal: Análise harmónica

A análise em grupos de Lie e em certos outros grupos chama-se análise harmónica. As medidas de Haar, isto é, integrais invariantes sob a translação num grupo de Lie, são usadas para o reconhecimento de padrões e noutras técnicas de processamento de imagem.

Combinatória

Na combinatória, a noção de grupo de permutação e o conceito de ação de grupo são frequentemente usados para simplificar a contagem de um conjunto de objetos; veja em particular o Lema de Burnside.

O ciclo das quintas pode ser dotado de uma estrutura de grupo cíclico

Música

A presença da periodicidade 12 no ciclo de quintas resulta em aplicações da teoria elementar dos grupos na teoria musical dos conjuntos. A teoria transformacional modela as transformações musicais como elementos de um grupo matemático.

Física

Na física, os grupos são importantes porque descrevem as simetrias às quais as leis da física parecem obedecer. De acordo com o Teorema de Noether, toda a simetria contínua de um sistema físico corresponde a uma lei de conservação do sistema. Os físicos estão muito interessados nas representações de grupos, especialmente dos grupos de Lie, visto que essas representações indicam muitas vezes o caminho para as teorias físicas "possíveis". Exemplos do uso de grupos na física incluem o Modelo Padrão, a teoria de gauge, o grupo de Lorentz e o grupo de Poincaré.

A teoria dos grupos pode ser usada para resolver a incompletude das interpretações estatísticas da mecânica desenvolvidas por Willard Gibbs, no que se refere ao somatório de um número infinito de probabilidades para obter uma solução com significado.

Química e ciência dos materiais

Ver artigo principal: Simetria Molecular

Na química e na ciência dos materiais, os grupos pontuais são usados para classificar poliedros regulares e as simetrias das moléculas, e os grupos espaciais são usados para classificar as estruturas cristalinas. Os grupos atribuídos podem então ser usados para determinar propriedades físicas (tais como a polaridade química e a quiralidade), propriedades espetroscópicas (particularmente úteis para a espetroscopia Raman, a espetroscopia de infravermelho, a espetroscopia de dicroísmo circular, a espetroscopia de dicroísmo circular magnético, a espetroscopia UV/Vis e a espetroscopia de fluorescência), e para construir orbitais moleculares.

A simetria molecular é responsável por muitas propriedades físicas e espetroscópicas de compostos e fornece informações relevantes sobre a forma como as reações químicas ocorrem. A fim de atribuir um grupo pontual a uma dada molécula, é necessário encontrar o conjunto de operações de simetria presentes na mesma. A operação de simetria é uma ação, tal como uma rotação em torno de um eixo ou uma reflexão através de um plano de espelho. Em outras palavras, é uma operação que move a molécula de tal forma que ela fica indistinguível da sua configuração original. Na teoria dos grupos, os eixos de rotação e os planos de espelho são chamados de "elementos de simetria". Estes elementos podem ser um ponto, uma linha ou um plano em relação aos quais a operação de simetria é levada a cabo. As operações de simetria de uma molécula determinam o grupo pontual específico para essa molécula.

Molécula de água com eixo de simetria

Na química, existem cinco operações de simetria importantes. Elas são a operação identidade (E), a operação de rotação ou rotação própria (C_$n$), a operação de reflexão (σ), a inversão (i) e a operação de rotação-reflexão ou rotação imprópria (S_$n$). A operação identidade (E) consiste em deixar a molécula como está. Isso equivale a qualquer número de rotações completas em torno de qualquer eixo. Esta é uma simetria de todas as moléculas, ao passo que o grupo de simetria de uma molécula quiral consiste apenas na operação identidade. Uma operação identidade é uma característica de toda a molécula, mesmo que não possua nenhuma outra simetria. A rotação em torno de um eixo (C_$n$) consiste em rodar a molécula em torno de um eixo específico por um ângulo específico. É a rotação num ângulo de 360°/$n$, onde $n$ é um número inteiro, em torno de um eixo de rotação. Por exemplo, se uma molécula de água girar 180° em torno do eixo que passa pelo átomo de oxigénio e entre os átomos de hidrogénio, ficará na mesma configuração em que começou. Neste caso, $n=2$, pois aplicá-la duas vezes produz a operação identidade. Nas moléculas com mais do que um eixo de rotação, o eixo $C_{n}$ que possui o maior valor de $n$ é o eixo de rotação de maior ordem ou o eixo principal. Por exemplo, no trifluoreto de boro (BF₃), o eixo de rotação de maior ordem é C₃, pelo que o eixo principal de rotação é C₃.

Na operação de reflexão (σ), muitas moléculas têm planos de espelho, embora possam não ser óbvios. A operação de reflexão troca o lado esquerdo com o direito, como se cada ponto tivesse percorrido perpendicularmente o plano até a uma posição exatamente tão distante do plano como quando começou. Quando o plano é perpendicular ao eixo principal de rotação, é chamado de σ_$h$ (horizontal). Outros planos, que contêm o eixo principal de rotação, são classificados como verticais (σ_$v$) ou diédricos (σ_$d$).

A inversão (i) é uma operação mais complexa. Cada ponto move-se através do centro da molécula para uma posição oposta à posição original e tão longe do ponto central quanto onde começou. Muitas moléculas que à primeira vista parecem ter um centro de inversão não o têm; por exemplo, o metano e outras moléculas tetraédricas carecem de simetria de inversão. Para constatar isso, segure um modelo do metano com dois átomos de hidrogénio no plano vertical à direita e dois átomos de hidrogénio no plano horizontal à esquerda. A inversão resulta em dois átomos de hidrogénio no plano horizontal à direita e dois átomos de hidrogénio no plano vertical à esquerda. A inversão, portanto, não é uma operação de simetria do metano, porque a orientação da molécula após a operação de inversão difere da orientação original. E a última operação é a rotação imprópria ou operação de rotação-reflexão (S_$n$), a qual requer uma rotação de 360°/$n$, seguida por uma reflexão através de um plano perpendicular ao eixo de rotação.

Criptografia

O grupo cíclico $\mathbb {Z} _{26}$ está na base da Cifra de César.

Grupos muito grandes de ordem prima construídos na criptografia de curvas elípticas servem para a criptografia de chave pública. Os métodos criptográficos deste tipo beneficiam da flexibilidade dos objetos geométricos, e consequentemente das suas estruturas de grupo, aliada à estrutura complicada destes grupos, que tornam o logaritmo discreto muito difícil de calcular. Um dos protocolos de encriptação mais antigos, a Cifra de César, pode também ser interpretado como uma operação de grupo (muito simples). A maioria dos esquemas criptográficos usa grupos de alguma forma. Em particular, a troca de chaves de Diffie-Hellman usa grupos cíclicos finitos. Assim, o termo criptografia baseada em grupos refere-se maioritariamente a protocolos criptográficos que usam grupos não abelianos infinitos, tais como um grupo de tranças.

Ver também

• Semigrupo
• Monoide
• Grupo
• Simetria

Ligações externas

• Commons
• Wikiquote