pi (matematikk)

Omkretsen av en sirkel er π ganger så lang som diameteren av den samme sirkelen. Dette kan skrives som \(O = \pi \cdot d\), der O er omkretsen og d er diameteren til sirkelen. Det kan også skrive som \(O = 2 \pi \cdot r\), der r er radiusen.

Arealet av en sirkel er \(A = \pi \cdot r^2\).

Ved hjelp av datamaskiner har π blitt beregnet med flere billiarder desimaler. Allerede i oldtiden klarte man å finne tilnærmelsesverdier for π. Arkimedes beregnet grensene \(3 \frac{10}{71} < \pi < 3 \frac{1}{7}\) ved hjelp av inn- og omskrevne polygoner (mangekanter).

Tallet π forekommer i flere forbindelser i matematikken, og man har funnet mange uendelige uttrykk og rekkeutviklinger for π. Ved å bruke et endelig antall av leddene i en slik rekke finner man en tilnærming til π. Med flere ledd får man en bedre tilnærming, altså flere korrekte desimaler. En av de mest kjente er Leibniz' formel \(\frac{\pi}{4} = 1 – \frac{1}{3} + \frac{1}{5} – \frac{1}{7} + \frac{1}{9} – \frac{1}{11} + \dots\).

Betegnelsen π omtales første gang i en engelsk lærebok fra 1706 av den britiske matematikeren William Jones (1675–1749), men den kom først i alminnelig bruk gjennom Leonhard Eulers verker.

Johann H. Lambert påviste i 1766 at π er et irrasjonalt tall. Carl Louis Ferdinand von Lindemann beviste i 1882 at π er et transcendent tall, det vil si at det ikke er rot i noen algebraisk ligning med rasjonale koeffisienter. Av dette følger at problemet med sirkelens kvadratur er uløselig. Det betyr at det er umulig å konstruere (med passer og linjal) et kvadrat med samme areal som en gitt sirkel.

• pi (gresk bokstav)
• gresk alfabet
• sirkel
• transcendent tall