Свободный Поиск...

Простыми словами о математической индукции

Один древний индийский раджа решил наградить отличившегося мудреца, предложив ему увесистый кошель с золотом. Но мудрец хитро прищурился и сказал, - О владыка, я недостоин принимать такой дар из твоих рук. Прошу тебя вместо всего этого золота положить на первую клетку моей шахматной доски всего лишь одну крупицу риса. На вторую - две крупицы, на третью - четыре... —И так далее? - спокойно спросил раджа. —И так далее! - радостно кивнул мудрец, не веря близкой удаче. —Будь по-твоему, сказал раджа. И получил мудрец от раджи аж целых 251 крупиц риса - на первой клетке одна крупица, на второй - две, на всех остальных - по четыре. И был вместе с ними и своей доской выпровожден из дворца восвояси. А потому что исполнительные условия в юридических договорах нужно оформлять грамотно! Г. Я. Перельман, Скучная математика

К написанию математических текстов сказанное относится в полной мере.

Help!

Я запутался в дебрях американского юрисленга. Кто на ком стоял? Помогите.

Обоснованный оптимизм

Как обещал, расскажу про вариационные задачи на бесконечном интервале.

Сначала о том, что такое вообще вариационные задачи. Это в сущности те же "школьные" задачи на поиск экстремума (скажем, максимума) функции. Разница в том, что в школе рассматриваются функции одной переменной, заданные явными формулами, и рецепт стандартный. Надо найти точки, в которых производная функции обращается в ноль, и перебрать их все. Максимум (равно как и минимум) затерялся где-то среди этих точек. Потом студентов учат искать максимумы функций нескольких переменных. Но число переменных остаётся конечным.

Вместе с тем есть естественный класс задач, где ищется не точка, а кривая. Простейший пример: кратчайшая кривая, соединяющая две данные точки на плоскости — прямая. Но представим себе, что плоскость не плоская и одинаково гладкая, а ландшафт: часть его — ровное поле, часть — высокая трава, часть — кусты, а часть — вообще непролазная чаща. Скорость передвижения по разным ландшафтам разная. Как проложить самый быстрый путь между двумя точками? Он уже будет не прямой линией, "трудные" участки быстрее обойти, чем через них продираться.

Другой пример. Берём гибкую тяжёлую цепь и поднимаем её за два конца. Она провиснет, минимизируя свою потенциальную энергию. Какая будет форма провисшей цепочки? Ответ: цепная линия " ;-). Третий пример: ребёнок на детской площадке съезжает вниз по жёлобу и торопится. Какой профиль должен быть у жёлоба, чтобы съехать с данной высоты за кратчайшее время? (Ответ: это точно будет не прямая доска, если только это не горка из вашего советского детства).

Всё это называется "вариационные задачи". Рецепт их решения, в сущности, есть то же вычисление производной. Предположим, мы нашли нужную кривую. Это значит, что любое её малое шевеление не может улучшить значение функции. Нетрудно сообразить, что в "линейном приближении" эффект должен быть нулевой (ибо если можно ухудшить, то шевеление "в противоположную сторону" её улучшит). А это и означает, что некоторый аналог производной должен обратиться в ноль.

Задачу определить, что это за "бесконечномерная производная", решили ещё при царе Горохе: Эйлер (и потом Лагранж) выписали явные дифференциальные уравнения, определяющие форму оптимальной кривой. Эти уравнения, как оказалось, имеют второй порядок: чтобы однозначно задать решения, надо указать не одно, а два значения. Например, начальное положение и начальную скорость, если мы говорим о кривых, описывающих движение. Или начальную и конечную точки, как в разобранных примерах. ( Так в чём же проблема с бесконечными интервалами? )

Былое и думы

Буквально пару дней назад натолкнулся у Толи avva  на пост про некий проект тестирования ИИ в "настоящей" математике. В рамках проекта были отобраны 10 "задач", не специально сочинённых, как головоломки для ММО, а естественным образом возникших у кожаных™ математиков в их реальной работе. По условию, отбирались только те задачи, которые кожаные™ уже решили сами, и методы их решения сообщались жюри заранее в виде анаграмм, как во времена Ньютона и Лейбница. Беглый взгляд на задачи вызывает реакцию "Ого!", и я с нетерпением (и определённой долей скепсиса) жду, когда жюри подведёт итоги конкурса.

Это была пре-пре-амбула. Преамбула состоит в том, что недавно ушёл в лучший мир мой старший коллега и друг, очень непростой человек Цвика Артштейн. Это благодаря ему я осёл там, где осёл. ( Преамбула )

И вот со временем пришла пора платить долги своим научным родителям и благодетелям (у меня есть отдельный тэг, мои учителя). После смерти Цвики оргкомитет из нескольких его ближайших коллег озаботился изданием мемориального сборника статей, посвящённого его памяти, и они спросили меня, не хочу ли я заплатить контрибуцию. The buck stops here, сказал я себе и пообещал организаторам представить статью по стационарной оптимизации на бесконечном интервале времени. В основном имея в виду написать дайджест собственных работ 40-летней давности с акцентом на открытые вопросы, которые нам тогда были не по зубам, и завернуть их в привлекательную обёртку, которая могла бы стимулировать интерес к ним спустя столько лет, — почему эти задачи вообще кому-то могут быть интересны сегодня.

Для начала надо было проверить, может, человечество в этом месте чего-то успело сделать и без меня: цитаты на мои работы потихоньку капали, хоть и не с той стороны, с которой мне было бы интересно. Но для очистки совести я решил поспрошать И.И. Перплешу, что ему известно про свершения в этой области. Чтоб не нарваться на поток безудержной лести (большинство ИИ норовят отвесить комплименты собеседнику), я сначала в режиме инкогнито постарался очертить тот кусок науки, который меня интересовал. Без ложной гордости скажу, что после трёх-четырёх промптов, сужающих круг задач без упоминания имён, Перплеша сам нашёл мои тогдашние сочинения. Предсказуемым образом, в нужную мне сторону никто всерьёз не думал. Тогда уж я разоблачился перед ИИ, загрузил его полудюжиной своих старых статей и ещё примерно таким же количеством релевантных статей классиков, и начал ему на пальцах объяснять, чего я не знаю и что бы хотел сформулировать как sexy problem.

( Амбула: ИИ приходит на помощь )

Честно говоря, я в шоке. Конечно, надо всё ещё сто раз перепроверить. Но вроде бы в отличие от пиздуна Гроши, Перплеша не был пойман на заведомом вранье, и всё, что он мне отвечал, выглядело исключительно правдоподобно.

За счёт чего так всё случилось? Нет, никаких новых идей Перплеша мне не предложил (в общем, неоткуда было: всю узкоспециальную литературу, которую я ему подсунул, я либо читал, либо вообще сам писал, хотя много чего перезабыл). Но он сэкономил мне бесконечно много времени, проделывая (символьные) преобразования и мгновенно проверяя (или опровергая) мои гипотезы про результат этих преобразований. И второе, конечно, тоже совершенно неоценимое качество, — Перплеша мгновенно находит в математических монографиях теоремы, которые я помню лишь приблизительно, и совершенно не помню, где я их мог читать. Грубо говоря, за 30 секунд он делает то, на что мне когда-то потребовался бы день в библиотеке с немедленным доступом к книжным полкам, а сегодня — несколько часов поиска гуглем или по разным Матсцынетам с неизбежной затратой времени на то, чтобы надыбать где-то полный текст пиратской копии книжки 50-летней давности.

Я никогда в жизни не играл в гольф, но немедленная ассоциация напрашивается. Перплеша — та самая таратайка, на которой ездят по полю для гольфа вместо того, чтобы потеть, бегая по нему с клюшкой от лунки к лунке. Более того, шарик ещё не успел упасть на землю после прошлого удара, а таратайка уже вычислила, где он приземлится, и готова везти хозяина туда немедленно для следующего удара.

Криворукие ебланы иным манером

Наш жилец (снимающий квартиру) платит нам отсроченными чеками при переподписании договора на год вперёд. В прошлый раз у него в середине писанины закончилась одна чековая книжка, он начал другую, а сегодня пришёл срок вкладывать очередной чек. К счастью, для этого не надо тащиться в банк: есть ихняя "фирменная" аппликуха для смартфона, которая сканирует чек (с двух сторон), сама распознаёт сумму (которую надо потом подтвердить) и вкладывает на счёт. Конечно, требуется хранить оригинал сколько-то времени на случай если чек будет опротестован, но подобные эксцессы между приличными людьми никогда не случаются.

На чеках из новой книжки нет "кросса". Если кто не в курсе, это две полосы, иногда с надписью между ними למוטב בלבד, означающий, что чек предназначен исключительно для того, на чьё имя выписан, и не подлежит передаче третьим лицам (исходно чек является платёжным обязательством того, кто его выписал, и может быть использован точно так же, как обычная бумажная купюра номинированного достоинства). Наличие "кросса" ограничивает хождение такой "купюры" исключительно между двумя людьми, и сегодня практически все чековые книжки можно заказывать с таким "кроссом", заранее напечатанным типографским способом.

Но блядский банк Леуми отказался принимать чек без "кросса"! Я минут пять потратил на reverse engineering, с чего бы им так кобениться? А потом понял. Ихняя прога, сканирующая чек, ещё как-то в состоянии прочитать сумму, написанную цифрами (и уж точно легко читает бар-код на самом чеке, идентифицирующий выписавшего чек его банковские реквизиты), но не в состоянии надёжно прочесть строчку "кому" и проверить, что чек вкладывается именно на счёт того, кому он выписан. Криворукие ебланы, как и сказано было.

В свете этого вторая строчка на чеке, "сумма прописью", может вызвать исключительно гомерический смех. Изначально она была предназначена для того, чтобы нельзя было приписать лишний нолик к сумме на чеке или переправить единицу на семёрку. Но с наступлением эры Искусственного Интеллекта, признанного расшифровывать рукописный текст, но так и не явившегося на призывной пункт, данная строчка становится чистой travesty.

Ремарка в сторону: интернет полон анекдотов про неразборчивость почерка врачей и аптекарей. Скажу вам, — это всё фигня. Самый неразборчивый почерк — у вундеркиндов, которые пишут математические олимпиады. Чем ребёнок умнее, тем почерк неразборчивей. А на иврите это всё усугубляется многократно. Например, две кривые примерно вертикальные палки, написанные рядом, могут обозначать буквы ה, ר, ו, ן, י, כ,ך в разных комбинациях, либо число 11, символ параллельности или ещё что-то (сейчас уже не помню все варианты, которые я встречал при проверке работ, когда я на почте служил ямщиком был Оргкомитетом Всеизраильской Олимпиады в одном лице.

Так что криворуких ебланов, писавших банковскую аппликуху, я мог бы понять, если б они не сваливали на меня свои проблемы. Казалось бы, вложи чек, а потом, когда/если какой-то кожаный банкир будет подписывать транзакции с чеками без "кросса" и/или появятся какие-то другие проблемы, можно было бы потратить 3 секунды на сверку имени на чеке с именем хозяина счёта. Вместо этого грёбаный банк Леуми предложил мне пройти квест по двойной идентификации по телефону, на пятнадцатой минуте которого я сломался, нажал не ту цифру, после чего ИИ безжалостно выбросил меня в начало "чата". Нет, с таким контингентом нам ничего не грозит.

За державу обидно

Презик у нас дурак?

❝Президент Израиля Ицхак Герцог ожидает разъяснений от премьер-министра Биньямина Нетаниягу после того, как глава Белого дома Дональд Трамп заявил, что Герцог "должен стыдиться" за отказ помиловать Нетаниягу, сообщает Ynet в субботу, 14 февраля. В окружении израильского президента хотят понять, стоит ли за этими словами сам Нетаниягу. Там считают, что подобные высказывания наносят серьезный удар по суверенному статусу Израиля. В окружении Герцога заявили, что если действительно выяснится, что Нетаниягу стоит за этими словами и именно он "прокачал президента Трампа", то речь идет о пересечении красной линии.❞

Как герцик себе представляет "выяснение"? Биби с Трампом разговаривали tête-à-tête, поэтому возможностей ровно четыре: "да, это я", "да, это он", "нет, это я сам" и "нет, это он сам". Тотализнём?