Hipercub

Hipercub
Diagrama Schlegel
Tipus	Polítop regular
Familia	Hipercub
Cel·les	8 (4.4.4)
Cares	24 {4}
Arestes	32
Vertex	16
Figura de vertex	(3.3.3)
Símbol de Schläfli	{4,3,3} {4,3}x{} {4}x{4} {4}x{}x{} {}x{}x{}x{}
Diagrama Coxeter-Dynkin
Grup de simetria	B₄, [3,3,4]
Doble	16-cel·les
Propietats	convex

En geometria, un hipercub és una figura formada per dos cubs desplaçats en un quart eix dimensional (anomenem al primer longitud, al segon alçada i al tercer profunditat).

Es compon de 8 cel·les cúbiques, 24 cares quadrades, 32 arestes i 16 vèrtexs,^[1] això tenint en compte el desenvolupament del polinomi $(2x+1)^{n}$ on el valor de n equival al nombre de dimensions (en aquest cas 4) i x és la llargada, l'alçada, l'amplitud, etc. de la figura polidimensional equilàter.

Aquest terme va ser adoptat per primer cop el 1888 pel matemàtic anglès Charles Howard Hinton en una obra anomenada A New Era of Thought, una espècie de manual que buscava entrenar la intuïció hiperespacial a través d'exercicis de visualització amb cubs de colors entorn de un hipercub imaginari.

Un hipercub es defineix com un cub desfasat en el temps, és a dir, cada instant de temps pel qual es mogué però tots junts. És evident que no podem veure un hipercub en la quarta dimensió, ja que només es veurien els punts que toquen el nostre univers, així que només veuríem un cub tridimensional.

No podem veure un hipercub perquè estem ubicats en tres dimensions, per la qual cosa només podem visualitzar el que seria la projecció d'un hipercub. És semblant a dos cubs enllaçats, amb tots els vèrtexs connectats per línies. Però en l'hipercub real de quatre dimensions totes les línies tindrien la mateixa longitud i formarien angles rectes.

Coordenades

Un hipercub unitari amb n dimensions és l'envoltura convexa dels punts per totes les permutacions de part de les coordenades cartesianes $(\pm 1/2,\pm 1/2,\cdots ,\pm 1/2)$ . Té una longitud d'arc unitària i un volum n-dimensional unitari.

Computació

L'hipercub és una de les topologies de multicomputadores amb commutador, la qual tracta de xarxes d'interconnexió de CPU on cadascuna té la seva pròpia memòria exclusiva.

Un hipercub és un cub n-dimensional, per exemple, dos cubs cadascun amb 8 vèrtexos i 12 arestes. Cada vèrtex és una CPU i cada aresta seria una connexió entre 2 CPU, d'aquesta manera es connecten els vèrtexos corresponents a cada vèrtex dels cubs.

Per estendre el cub a 5 dimensions, podríem afegir a la figura un altre conjunt de dos cubs connectats entre si i connectar les arestes corresponents en les dues meitats i així successivament.

Per a un cub de n-dimensions, cada CPU té n connexions amb altres CPU. Així, la complexitat del cablejat augmenta en proporció logarítmica amb la mida. Ja que només es connecten els vèrtexos veïns més propers molts missatges han de realitzar diversos salts abans d'arribar al seu destí, la trajectòria més gran també creix en forma logarítmica amb la mida.

Bases de dades

Els hipercubs en aplicacions de bases de dades s'utilitzen normalment per generar resums, estadístiques, projeccions i altres tipus de processaments d'informació. Quan es tenen fonts de dades detallades es disposa de milions de registres, utilitzant la metodologia OLAP a través d'un hipercub que es processen generant acumulats seguint els criteris requerits per l'usuari que, finalment, utilitzarà la informació ja processada.^{[cal citació]}

Cares

Nombre $E_{m,n}$ de cares $m$ -dimensionals d'un hipercub $n$ -dimensional
			m	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
n	n-cub	Noms	Schläfli Coxeter	Vèrtex 0-cara	Aresta 1-cara	cara 2-cara	Cel·la 3-cara	4-cara	5-cara	6-cara	7-cara	8-cara	9-cara	10-cara
0	0-cub	Punt Monon	( )	1
1	1-cub	Segment lineal Dion^[2]	{}	2	1
2	2-cub	Quadrat Tetràgon	{4}	4	4	1
3	3-cub	cub Hexaedre	{4,3}	8	12	6	1
4	4-cub	Tesseractis Octacoron	{4,3,3}	16	32	24	8	1
5	5-cub	Penteractis Deca-5-top	{4,3,3,3}	32	80	80	40	10	1
6	6-cub	Hexeractis Dodeca-6-top	{4,3,3,3,3}	64	192	240	160	60	12	1
7	7-cub	Hepteractis Tetradeca-7-top	{4,3,3,3,3,3}	128	448	672	560	280	84	14	1
8	8-cub	Octeractis Hexadeca-8-top	{4,3,3,3,3,3,3}	256	1024	1792	1792	1120	448	112	16	1
9	9-cub	Enneractis Octadeca-9-top	{4,3,3,3,3,3,3,3}	512	2304	4608	5376	4032	2016	672	144	18	1
10	10-cub	Dekeractis Icosa-10-top	{4,3,3,3,3,3,3,3,3}	1024	5120	11520	15360	13440	8064	3360	960	180	20	1

Ficció

La pel·lícula "Cube 2: Hypercube" (2002) és una conjectura fantàstica del que podria ser la construcció d'un hipercub amb éssers humans en el seu interior. La pel·lícula tracta de l'intent d'escapar d'aquest hipercub que funciona com una presó i que creua diferents espais i temps.

El relat de Robert A. Heinlein, "...And He Built a Crooked House", és l'intent d'un arquitecte visionari per construir una casa en forma de "tesseractis".^[3]

En la sèrie canadenca Strange Days at Blake Holsey High, en l'episodi 30 titulat Tesseract, l'escola es transforma en un hipercub.

Referències

↑ Gardner, Martin. «4. Hipercubos». A: Carnaval matemático (en castellà). Alianza Editorial, p. 71. ISBN 9788491811503 [Consulta: 26 gener 2022]. «Supongamos ahora que el cubo se desplaza una unidad de distancia en la dirección de un cuarto eje que forma ángulo recto con los otros tres. […] Cada vértice del cubo vuelve a tener posiciones de salida y de llegada, por lo que el teseracto resultante tiene 2 × 8 = 16 vértices. Cada punto genera una línea, pero a estas 8 líneas hay que añadir las posiciones de salida y llegada de las 12 aristas [del cubo], obteniendo un total de 8 + 12 + 12 = 36 aristas para el hipercubo. Cada una de las 12 aristas del cubo engendra un cuadrado, pero a estos 12 cuadrados debemos añadir los seis que tenía el cubo antes de trasladarse y los seis que tiene el cubo después de hacerlo, totalizando 12 + 6 + 6 = 24 cuadrados sobre la superficie del teseracto.»
↑ Johnson, Norman W.; Geometries and Transformations, Cambridge University Press, 2018, p.224.
↑ Gardner, Martin. «4. Hipercubos». A: Carnaval matemático (en castellà). Alianza Editorial, p. 80. ISBN 9788491811503 [Consulta: 26 gener 2022]. «...el hipercubo inspira el argumento de un relato de Robert A. Heinlein: "...And He Built a Crooked House"... Un arquitecto de California construye una casa en forma de hipercubo desarrollado...»

Vegeu també

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Hipercub

Tesseractis

[1] Gardner, Martin. «4. Hipercubos». A: Carnaval matemático (en castellà). Alianza Editorial, p. 71. ISBN 9788491811503 [Consulta: 26 gener 2022]. «Supongamos ahora que el cubo se desplaza una unidad de distancia en la dirección de un cuarto eje que forma ángulo recto con los otros tres. […] Cada vértice del cubo vuelve a tener posiciones de salida y de llegada, por lo que el teseracto resultante tiene 2 × 8 = 16 vértices. Cada punto genera una línea, pero a estas 8 líneas hay que añadir las posiciones de salida y llegada de las 12 aristas [del cubo], obteniendo un total de 8 + 12 + 12 = 36 aristas para el hipercubo. Cada una de las 12 aristas del cubo engendra un cuadrado, pero a estos 12 cuadrados debemos añadir los seis que tenía el cubo antes de trasladarse y los seis que tiene el cubo después de hacerlo, totalizando 12 + 6 + 6 = 24 cuadrados sobre la superficie del teseracto.»

[2] Johnson, Norman W.; Geometries and Transformations, Cambridge University Press, 2018, p.224.

[3] Gardner, Martin. «4. Hipercubos». A: Carnaval matemático (en castellà). Alianza Editorial, p. 80. ISBN 9788491811503 [Consulta: 26 gener 2022]. «...el hipercubo inspira el argumento de un relato de Robert A. Heinlein: "...And He Built a Crooked House"... Un arquitecto de California construye una casa en forma de hipercubo desarrollado...»

[1]

[2]

[3]

Dimensió
Espais dimensionals	Espai vectorial Espai euclidià Espai afí Espai projectiu Mòdul lliure Varietat Varietat algebraica Espai-temps
Altres dimensions	Krull Cobertura de Lebesgue Inductiva Hausdorff Minkowski Fractal Graus de llibertat
Polítops i formes	Hiperplà Hipersuperfície Hipercub Hiperesfera Hiperrectangle Demihipercub Hiperoctàedre Símplex
Dimensions per nombre	Zero Una Dues Tres Quatre Cinc Sis Set Vuit Nou n-dimensions Dimensions negatives
Categoria