Volum

Per a altres significats, vegeu «Volum (desambiguació)».

Volum

Símbol	V
Unitats	metre cúbic i litre
Fórmula	$V=\iiint \mathrm {d} x\mathrm {d} y\mathrm {d} z$

El volum és la porció o quantitat d'espai tridimensional tancat dins una frontera. Per exemple, el volum és l'espai o forma que una substància (sòlid, líquid, gas o plasma) ocupa o conté. El volum se sol quantificar numèricament utilitzant la unitat derivada del SI, el metre cúbic.

Les formes matemàtiques col·locades en l'espai donen lloc a volums. Els volums formats per figures simples –com ara formes regulars, circulars o d'arestes rectes– es poden calcular fàcilment fent servir fórmules matemàtiques. D'altra banda, les formes més complicades es troben mitjançant el càlcul integral si existeix una fórmula per la frontera. Les figures d'una dimensió (com la línia) i les formes de dues dimensions (com els quadrats) tenen un volum zero en l'espai tridimensional.

El volum d'un sòlid (ja sigui de forma regular o irregular) es pot determinar a partir del desplaçament de fluid. El desplaçament de líquid també es pot utilitzar per determinar el volum d'un gas. El volum combinat de dues substàncies és generalment més elevat que el volum d'una de les substàncies. De totes maneres, de vegades una substància es dissol dins l'altra, per la qual cosa el volum, en aquest cas, no és additiu.

En geometria diferencial, el volum s'expressa en termes de forma volum, i és una invariant riemanniana global important. D'altra banda, en termodinàmica, el volum és un paràmetre fonamental, i és la variable conjugada de la pressió.

Història

Història antiga

6 mesures volumètriques dels mens ponderia a Pompeia, una antiga institució municipal per al control de pesos i mesures

La precisió de les mesures del volum en el període antic sovint variava entre els 10–50 mL (0.3–2 US fl oz; 0.4–2 imp fl oz). La primera evidència de càlcul volumètric és de l'Antic Egipte i Mesopotamia com a problemes matemàtics, aproximacions de volum de formes simples com els cuboides, els cilindres, troncs i cons. Aquests problemes matemàtics van estar escrits en el Papir de Moscou (c. 1650 a.C). En els Papirs de Reisner, els antics egipcis van escriure unitat concretes de volum de gra i de líquids, així com una taula de longitud, amplada i profunditat i els corresponents volums de blocs de material. Els egipcis van utilitzar les seves unitats de longitud (el colze, la palma, i el dit) per definir les seves unitats de volum, com ara el colze de volum (1 colze × 1 colze × 1 colze), la palma de volum (1 colze × 1 colze × 1 palma), o el dit de volum (1 colze × 1 colze × 1 dit).

Els darreres tres llibres dels Elements d'Euclides, escrits al voltant de l'any 300 a.C., detallen les fórmules exactes per calcular el volum de paral·lelepípedes, cons, piràmides, cilindres, i esfera. Les fórmules havien sigut derivades per matemàtics anteriors utilitzant una forma primerenca d'integració, trencant les formes en peces més simples. Un segle més tard, Arquimedes (ca. 287-212 a.C.) va idear una fórmula que aproximava el volum de diverses formes utilitzant el mètode d'exhaustió, és a dir derivant solucions a partir de fórmules prèviament conegudes de formes similars. Liu Hui, en el segle III i Zu Chongzhi en el segle V van descobrir també una primera forma d'integració de formes, independentment, a l'Orient Mitjà i a l'Índia, respectivament.

Arquimedes també va idear un mètode de determinar el volum d'un objecte irregular, submergint-lo sota l'aigua i observant la diferència entre el volum d'aigua inicial i el final. La diferència entre el volum d'aigua és precisament el volum de l'objecte. Tot i que tenia una gran popularitat, probablement Arquimedes no submergia una corona d'or per determinar-ne el seu volum, i també la seva densitat i puresa, atesa l'alta precisió que requeria. En comptes d'això, probablement va desenvolupar una primera versió d'equilibri hidroestàtic. Aquí, la corona i un tros d'or pur d'un pes similar es posaven a cada extrem d'una balança submergida en aigua, que actuaria seguint el principi d'Arquimedes.

Càlcul i estandarització d'unitats

Articles principals: Història del càlcul i Sistema de mesures dels apotecaris

Diagrama que mostra com mesurar el volum utilitzant un cilindre graduat amb marques, 1926

A l'edat mitjana, es van crear moltes unitats de mesura per al volum, com el sester, l'amber, el coomb, i el seam. L'àmplia quantitat d'unitats va motivar els reis anglesos a estandaritzar-les, culminant en l'estatut Assisa panis et cervisiæ l'any 1258, promulgat per Enric III d'Anglaterra. Els estatuts estandaritzaven el pes, la longitud i el volum així com introduïen el penic, l'onça, la lliura, el galó i el bushel. Al 1618, els London Pharmacopoeia (catàleg de medicina) va adoptar el galó romà o congius com a mesura bàsica de volum i va donar una taula de conversions a les unitats de pes dels apotecaris. En aquells moments, les mesures de volum cada cop eren més precises i les toleràncies dels instruments de mesura rondaven els 1–5 mL (0.03–0.2 US fl oz; 0.04–0.2 imp fl oz).

A principis de segle XVII, Bonaventura Cavalieri va aplicar la filosofia del càlcul integral modern per calcular el volum de qualsevol objecte. Va idear el principi de Cavalieri, que deia que utilitzar seccions més i més estretes d'una forma feia que el volum resultant fos cada cop més precís. Posteriorment, Pierre de Fermat, John Wallis, Isaac Barrow, James Gregory, Isaac Newton, Gottfried Wilhelm Leibniz i Maria Gaetana Agnesi estendrien aquesta idea en els segles XVII i XVIII per crear el càlcul integral modern, que se segueix utilitzant al segle XXI.

Metricació i redefinicions

El 7 d'abril de 1795, es va definir formalment el sistema mètric en la legislació francesa utilitzant sis unitats. Tres d'elles tenen a veure amb el volum: l'esteri (1 m³) per al volum de la llenya; el litre (1 dm³) per volums de líquid; i el gram, per massa—definit com la massa d'un centímetre cúbic d'aigua a la temperatura del fusió del gel. Trenta anys més tard, l'any 1824, es va definir el galó imperial com el volum ocupat per deu lliures d'aigua a 17 °C (62 °F). Aquesta definició va ser refinada fins que finalment el Weights and Measures Act 1985 britànic va determinar que 1 galó imperial equivalia precisament a 4.54609 litres, independentment de l'ús d'aigua.

La redefinició de 1960 del metre de l'International Prototype Metre de la línia d'emissió taronja-vermell dels àtoms del criptó-86 van desvincular el metre, el metre cúbic i el litre d'objectes físics. Això va fer també que el metre i altres unitats de volum derivades del metre fossin independents dels canvis de l'International Prototype Metre. La definciió de metre va ser encara modificada un cop més l'any 1983, utilitzant la velocitat de la llum i el segon (que es deriva de l'estàndard del cesi), i es va rescriure la definició per millorar-ne la claredat l'any 2019.

Unitats

Qualsevol unitat de longitud té la seva corresponent unitat de volum, normalment el volum del cub l'aresta del qual té la longitud donada. Per exemple, un centímetre cúbic (cm³) és el volum del cub les arestes del qual mesuren 1 cm de longitud.

En el Sistema Internacional d'Unitats (SI), la unitat estàndard de volum és el metre cúbic (m³). El sistema mètric també inclou el litre (L) com a unitat de volum; un litre és el volum d'un cub d'aresta deu centímetres (un decímetre cúbic). Per tant:

1 litre = (10 cm)³ = 1000 centímetres cúbics = 0.001 metres cúbics,

llavors

1 metre cúbic = 1.000 litres

Les quantitats petites de líquid se solen mesurar en mil·lilitres, on

1 mil·lilitre = 0,001 litres = 1 centímetre cúbic

Algunes altres unitats tradicionals de volum en altres sistemes que encara són vigents en alguns països són les següents: polzada cúbica, peu cúbic, milla cúbica, culleradeta, cullerada, unça líquida, gill, pinta, quart, galó, minim, barril, corda, peck, bushel i hogshead.

Fórmules per calcular volums

Cos	Fórmula del volum	Variables
Cub	$\ a^{3}\;$	a = longitud de qualsevol aresta
Cilindre	$\pi r^{2}h\;$	r = radi de la cara circular, h = alçada
Prisma	$B\cdot h$	B = àrea de la base, h = alçada
Prisma rectangular	$l\cdot w\cdot h$	l = longitud, w = amplada, h = alçada
Esfera	${\frac {4}{3}}\pi r^{3}$	r = radi de l'esfera que és la integral de l'àrea superficial de l'esfera
El·lipsoide	${\frac {4}{3}}\pi abc$	a, b, c = semieixos de l'el·lipsoide
Piràmide	${\frac {1}{3}}Bh$	B = àrea de la base, h = alçada de la piràmide
Con	${\frac {1}{3}}\pi r^{2}h$	r = radi del cercle de la base, h = distància de la base al vèrtex (alçada)
Tetraedre	${{\sqrt {2}} \over 12}a^{3}\,$	a = longitud de l'aresta
Paral·lelepípede	$abc{\sqrt {K}}$ ${\begin{aligned}K=&1+2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )\\&-\cos ^{2}(\alpha )-\cos ^{2}(\beta )-\cos ^{2}(\gamma )\end{aligned}}$	a, b i c són les longituds de les arestes, i α, β i γ els angles interns entre elles Nota: si es tenen els vectors directors no coplanars de les tres arestes $({\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2},{\vec {v}}_{3})$, el volum es pot calcular a partir del producte mixt dels tres vectors: $V=|\det({\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2},{\vec {v}}_{3})|$.
Qualsevol figura generada per arrossegament (cal càlcul integral)	$\int _{a}^{b}A(h)\,\mathrm {d} h$	h = qualsevol dimensió de la figura, A(h) = àrea de les seccions transversals perpendiculars a h descrites com una funció al llarg d'h. a i b són els límits d'integració per l'arrossegament volumètric. (Això funcionarà per qualsevol figura si la seva àrea transversal es pot determinar a partir d'h).
Qualsevol figura generada per rotació (cal càlcul integral)	$\pi \int _{a}^{b}\left({\left[R_{O}(x)\right]}^{2}-{\left[R_{I}(x)\right]}^{2}\right)\mathrm {d} x$	$R_{O}$ i $R_{I}$ són les funcions que expressen els radis extern i intern de la funció, respectivament.
Ampolla de Klein	$0\;$	No té volum (no té interior)

Volum dels sòlids platònics

Els sòlids platònics comprenen els cinc únics poliedres regulars. Si l'aresta del poliedre és a, el seu volum ve donat per la taula a continuació:

Poliedre	Volum	Imatge	Poliedre	Volum	Imatge
Tetraedre	$V={\frac {1}{12}}{\sqrt {2}}a^{3}$		Dodecaedre regular	$V={\frac {1}{4}}(15+7{\sqrt {5}})a^{3}$
Cub	$V=a^{3}\,$		Icosaedre	$V={\frac {5}{6}}\varphi ^{2}a^{3}$ on $\varphi$ és el nombre d'or
Octaedre	$V={\frac {1}{3}}{\sqrt {2}}a^{3}$

Proporció entre els volums d'un con, esfera i cilindre del mateix radi i alçada

Un con, esfera i cilindre de radi r i alçada h

Les fórmules anteriors es poden utilitzar per demostrar que els volums d'un con, esfera i cilindre del mateix radi i alçada segueixen la proporció 1 : 2 : 3. La demostració és la següent: sigui el radi r i l'alçada h (que per l'esfera és 2r). El volum del con és:

${\tfrac {1}{3}}\pi r^{2}h={\tfrac {1}{3}}\pi r^{2}(2r)=({\tfrac {2}{3}}\pi r^{3})\times 1$

El volum de l'esfera és:

${\tfrac {4}{3}}\pi r^{3}=({\tfrac {2}{3}}\pi r^{3})\times 2$

El volum del cilindre és:

$\pi r^{2}h=\pi r^{2}(2r)=({\tfrac {2}{3}}\pi r^{3})\times 3$

La descoberta de la proporció 2 : 3 entre els volums de l'esfera i el cilindre s'atribueix a Arquimedes.

Càlcul del volum per integrals

Vegeu també: Integral múltiple

Si ${\mathcal {D}}$ és una part limitada de $\mathbb {R} ^{2}$, el volum del cilindre que té per generatriu la frontera de ${\mathcal {D}}$, delimitat pel pla $z=0$ i la superfície d'equació $z=f(x,y)$ –amb $f$ positiva i contínua sobre ${\mathcal {D}}$– és:

$V=\iint _{\mathcal {D}}f(x,y)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y$

En el cas que el domini ${\mathcal {D}}$ està definit per les condicions simples $x_{1}<x<x_{2}$, $y_{1}(x)<y(x)<y_{2}(x)$, el càlcul es redueix a:

$V=\int _{x_{1}}^{x_{2}}\!\int _{y_{1}(x)}^{y_{2}(x)}f(x,y)\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x$

Si ${\mathcal {A}}$ és una part limitada de $\mathbb {R} ^{3}$ i la funció constant 1 és integrable sobre ${\mathcal {A}}$, el volum de ${\mathcal {A}}$ és llavors:

$V=\iiint _{\mathcal {A}}\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z$

En el cas que el domini ${\mathcal {A}}$ està definit per les condicions simples $x_{1}(z,y)<x(z,y)<x_{2}(z,y)$, $y_{1}(z)<y(z)<y_{2}(z)$ i $z_{1}<z<z_{2}$, aquest càlcul queda reduït a:

$V=\int _{z_{1}}^{z_{2}}\!\int _{y_{1}(z)}^{y_{2}(z)}\!\int _{x_{1}(z,y)}^{x_{2}(z,y)}\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z$

Per la linealitat de la integració, un domini difícil de definit es pot partir en diversos subdominis expressables per condicions simples.

Coordenades no cartesianes

Si el domini ${\mathcal {A}}$ s'expressa millor en coordenades cilíndriques per les condicions simples ${\mathcal {A}}'$, el càlcul queda:

$V=\iiint _{{\mathcal {A}}'}r\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,dz$ on ${\mathcal {A}}'$ és una part limitada de $\mathbb {R} _{+}\times [0,2\pi ]\times \mathbb {R}$

Si el domini ${\mathcal {A}}$ s'expressa millor en coordenades esfèriques per les condicions simples ${\mathcal {A}}''$, el càlcul queda:

$V=\iiint _{{\mathcal {A}}''}r^{2}\sin(\phi )\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \phi$ on ${\mathcal {A}}''$ és una part limitada de $\mathbb {R} _{+}\times [0,2\pi ]\times [0,\pi ]$

Sòlid de rotació

En el cas que el domini ${\mathcal {A}}$ és un sòlid de revolució la frontera del qual està engendrada per la rotació d'una corba d'equació $y=f(x)$ al voltant de l'eix $(Ox)$, el càlcul del volum es redueix a una integral simple

$V=\pi \int _{x_{1}}^{x_{2}}f^{2}(x)\,\mathrm {d} x$

Teorema de la divergència

El teorema de la divergència permet reduir el càlcul del volum a una integral de superfície:

$V=\iiint _{A}\mathrm {d} V={\frac {1}{3}}\iint _{\partial {\mathcal {A}}}(x,y,z){\vec {n}}\,\mathrm {d} S$

On $\partial {\mathcal {A}}$ és la frontera de ${\mathcal {A}}$ i ${\vec {n}}$ el vector unitari normal a $\mathrm {d} S$ dirigit cap a l'exterior de ${\mathcal {A}}$.

Càlcul pel Teorema de Guldin

El teorema de Guldin consta de dos enunciats de geometria euclidiana establerts pel matemàtic suís Paul Guldin (al voltant de l'any 1600). És probable que aquests enunciats fossin coneguts per Pappos d'Alexandria (al voltant de l'any 300), suposició que ha dut a la denominació de teorema de Pappos-Guldin.

El teorema determina, en determinades condicions:

• l'àrea de la superfície engendrada per la rotació d'un segment de corba plana
• el volum engendrat per la rotació d'una superfície plana

Una altra aplicació del teorema és el càlcul de la posició del centre de gravetat d'una línia plana o d'una superfície.

Unitats tradicionals

Catalanes

• porró
• 1 porró = 2 xaus
• 1 porró = 4 quartins o petricons
• 1 porró = 8 xicres
• 1 petricó = 1/4 de porró = 250ml
• 1 xicra = 1/2 petricó = 125ml
• càntir

Vegeu també

• Espai
• Ordres de magnitud
• Unitat de mesura
• Volum (termodinàmica)

Viccionari