Argument hyperbolického kosinu

Graf funkce argument hyperbolického kosinu

Argument hyperbolického kosinu je hyperbolometrická funkce. Značí se $\operatorname {arcosh} x$, někdy také $\operatorname {argcosh} x$, $\operatorname {arccosh} x$ nebo $\operatorname {ach} x$, případně $\cosh ^{-1}x$.

Definice

Argument hyperbolického kosinu je definován jako funkce inverzní k hyperbolickému kosinu definovanému na intervalu $\langle 0;\infty )$. Platí:

$\operatorname {arcosh} x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right).$

Vlastnosti

• Definiční obor funkce: $\langle 1;\infty )$

• Obor hodnot funkce: $\langle 0;\infty )$

• Argument hyperbolického kosinu není sudá ani lichá funkce.

• Inverzní funkcí k argumentu hyperbolického kosinu je $\cosh x$ na intervalu $\langle 0;\infty )$.

• Derivace:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {arcosh} x={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}$

• Neurčitý integrál:

$\int \operatorname {arcosh} x\,\mathrm {d} x=x\operatorname {arcosh} x-{\sqrt {x^{2}-1}}+C,$

kde $C$ je integrační konstanta.

• Funkce je zdola omezená a rostoucí.
• Funkce je neperiodická.

Vzorce

• $\operatorname {arcosh} (\mathrm {i} x)=\mathrm {i} \arccos x$
• $\ln x=\operatorname {arcosh} {\frac {x^{2}+1}{2x}}$
• $|\operatorname {arcosh} x+\operatorname {arcosh} y\,|=\operatorname {arcosh} \left(xy\pm {\sqrt {(x^{2}-1)(y^{2}-1)}}\right),\quad x\geq 1,\ y\geq 1$
• $\operatorname {arcosh} x=\operatorname {arsinh} {\sqrt {x^{2}-1}},\quad x\geq 1$
• $\operatorname {arcosh} x=\operatorname {artanh} {\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}},\quad x\geq 1$
• $\operatorname {arcosh} x=\operatorname {arcoth} {\frac {x}{\sqrt {x^{2}-1}}},\quad x>1$
• $\operatorname {arcosh} x=\ln(2x)-\left({\frac {1}{2}}\cdot {\frac {x^{-2}}{2}}+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\cdot {\frac {x^{-4}}{4}}+{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\cdot {\frac {x^{-6}}{6}}+\dots \right)$

Užití

• Výpočet $x$-ové souřadnice na řetězovce, známe-li $y$-ovou hodnotu (stavebnictví, architektura).
• Řešení kubické rovnice $x^{3}+px+q=0$ pro případ, že $p<0$ a diskriminant $4p^{3}+27q^{2}>0$ (rovnice má v tomto případě právě jedno reálné řešení). Pak platí:

$x=-2{\frac {|q|}{q}}{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}\cosh \left[{\frac {1}{3}}\operatorname {arcosh} \left({\frac {-3|q|}{2p}}{\sqrt {\frac {-3}{p}}}\right)\right].$

Literatura

• BARTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. 3., rev. vyd. Praha: Mladá fronta, 1996. ISBN 80-204-0607-7.

Portály: Matematika