Declive

Gráfico de uma função do primeiro grau, caracterizado por uma reta. O coeficiente angular da reta é geralmente representado pela letra "m".

Em matemática, o declive, também chamado de coeficiente angular, é a medida relacionada à inclinação de uma reta face ao eixo horizontal. Coincide numericamente com a tangente do ângulo de inclinação, formado entre a reta e esse eixo. Dada uma reta representada por $y=mx+n$, diz-se que $m$ representa o seu declive.

Condições

É possível determinar o comportamento da reta $y=f(x)$ nas seguintes condições:

• Se $m>0$, a reta é dita crescente, pois $\lim _{x\rightarrow +\infty }f(x)=+\infty$.
• Se $m<0$, a reta é dita decrescente, pois conforme $\lim _{x\rightarrow +\infty }f(x)=-\infty$.
• Se $m=0$, a inclinação é nula em relação ao eixo horizontal e a função que a reta representa é dita constante, pois $\lim _{x\rightarrow +\infty }f(x)=k$, onde $k$ é uma constante real.

No caso em que $m=\tan {\Bigl (}{\frac {\pi }{2}}{\Bigl )}$, temos uma reta vertical, definida como $x=k$, onde $k$ é uma constante real.

Definição

Declive de uma reta num sistema de coordenadas, de f(x) = 3x - 11

Seja $\theta$ um ângulo arbitrário formado entre a reta $y=mx+n$ e o eixo das abscissas e $(x_{0},\ y_{0})$ e $(x,\ y)$ dois pontos pertencentes a essa reta, o coeficiente angular $m$ é definido como:

$m=\tan \theta ={\frac {y-y_{0}}{x-x_{0}}}={\frac {\Delta y}{\Delta x}}$

Exemplo

Considere uma reta que passa pelos pontos P = (4,1) e Q = (6,7). O declive da reta pode ser obtido dividindo a variação das ordenadas pela variação das abscissas:

$m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {(7-1)}{(6-4)}}={\frac {6}{2}}=3$

Neste caso, como o declive é positivo, a reta é crescente, isto é, os valores de y aumentam à medida que x aumenta.

Declive de uma curva

Ver artigo principal: Derivada

Dada a curva $\mathrm {C} :y=f(x)$, seu declive no ponto $(x,\ f(x))$ é dado pela derivada $f'(x)$, i.e. a inclinação da reta tangente no ponto considerado.

A derivada da função em um ponto arbitrário define o declive da reta tangente àquele ponto.

Equação fundamental da reta

A equação fundamental da reta é uma das três formas básicas da equação do primeiro grau (junto à equação reduzida e equação geral). Essa forma permite o cálculo de qualquer ponto $(x,\ y)$ da reta apenas sabendo seu coeficiente angular e um ponto $(x_{0},\ y_{0})$ definido. É obtida a partir da definição do coeficiente angular:

$m={\frac {y-y_{0}}{x-x_{0}}}$

Multiplicando ambos os lados por $(x-x_{0})$, obtemos a equação fundamental da reta:

$y-y_{0}=m(x-x_{0})$

Ver também

• Nivelamento