Fourieranalyse

Fourierrækken for den periodiske funktion f er en uendelig række (en uendelig sum) af form

\[\frac12 a_{0} + \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}\cos(n\omega_{n} t) + b_{n}\sin(n\omega t)\]

hvor \(\omega = 2\pi/T\) betegner den cykliske frekvens svarende til perioden T. Fourierkoefficienterne \(a_{n}\) og \(b_{n}\) er beregnet som henholdsvis

\[a_n = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(x)\cos(n\omega t) \textrm{d}t \qquad n = 0,1,2,3,4, \ldots\] og

\[ b_n = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t)\sin(n\omega t) \textrm{d}t \qquad n = 1,2,3,4, \ldots \]

Hvis funktionen \(f(t)\) er kontinuert for alle t, kan man opnå for alle t, at Fourierrækkens sum netop er funktionsværdien i t, dvs. at der gælder:

\[f(t) = \frac12 a_{0} + \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}\cos(n\omega_{n} t) + b_{n}\sin(n\omega t)\]

Hvis funktionen har spring (diskontinuiteter), vil rækkens sum ikke nødvendigvis give funktionsværdien i springpunktet.

Hvis funktionen er ulige (dvs. \(f(t) = -f(-t)\) ) forsvinder alle cosinus-leddene, og Fourierrækken bliver en ren sinusrække. Hvis funktionen er lige (dvs. \(f(t) = f(-t) \) ) forsvinder sinusleddene, og Fourierrækken bliver en ren cosinusrække. Konstantleddet \(\frac{1}{2}a_{0}\) regnes som et cosinusled.

Selv et ret lille antal af led i rækken kan fremstille en funktion, der er overraskende tæt på den givne funktion \(f(t)\). Se figur 2.

Ved hjælp af Eulers formel for den komplekse eksponentialfunktion kan man skrive Fourierrækken på en typografisk enklere måde med samme informationsindhold. Udtrykket for rækken er:

\[f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n}e^{i n t} \]

hvor

\[c_n = \frac{1}{T} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) e^{-in\omega t} \ \textrm{d}t \qquad n = \ldots -4, -3, -2, -1, 0,1,2,3,4, \ldots \]

Bemærk, at der i denne formel summes over alle værdier af \(n\) fra \(-\infty\) til \( +\infty\). Selv om de enkelte led i summen har værdier, som er komplekse tal, vil, hvis \(f(t)\) er en funktion med reelle værdier, de imaginære værdier i summen ophæve hinanden i det samlede udtryk, således at summen bliver reel.

For funktioner \(f(t)\), der ikke er periodiske, benytter man en fremstilling ved hjælp af integraler.

I stedet for koefficienterne danner man den Fouriertransformerede af \(f(t)\):

\[F(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-2\pi i \omega t} \textrm{d}t\]

hvor funktionsværdien \(F(\omega)\) angiver, 'hvor meget' af den givne funktion \(f(t)\), der er en ren svingning med frekvensværdien \( \omega\) .

Herved får man en fremstilling af den givne funktion \(f(t)\):

\[f(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} F(\omega) e^{2\pi i \omega t} \textrm{d}\omega\]

Selv om udtrykket for den Fouriertransformerede \(F(\omega)\) kan have komplekse værdier, vil man, hvis den givne funktion \(f(t)\) er reel, få en reel værdi af Fourierintegralets fremstilling af \(f(t)\).

Den detaljerede beskrivelse og klassificering af de funktioner, for hvilke Fouriers formler gælder, og udredningen af tilgrænsende spørgsmål udgør et vigtigt matematisk forskningsområde, som kaldes harmonisk analyse.

• matematisk analyse
• harmonisk analyse
• funktion

• Ole Christensen: Differentialligninger og uendelige rækker. 3. udgave (2022). Polyteknisk Forlag, ISBN 978-87-502-0126-7.