flade

Studiet af flader begyndte for alvor, da Johann Bernoulli i 1697 efterspurgte den korteste vej (den geodætiske kurve) mellem to punkter på en konveks flade (fx Jordens overflade). I 1760 lagde L. Euler med værket Recherches sur la courbure des surfaces fundamentet for egentlige differentialgeometriske undersøgelser af krumme flader.

Motiveret af behovet for kartografi gennemførtes tidligt undersøgelser af flader, der kan foldes ud i en plan uden forvrængninger (udfoldelige flader), med vægtige bidrag især af G. Monge. De grundlæggende udfoldelige flader er kegle-, cylinder- og tangentflader (samlingen af tangentlinjer til en glat kurve i rummet).

Banebrydende undersøgelser af fladers krumningsforhold blev udført af C.F. Gauss, ikke mindst i hovedværket Disquisitiones generales circa superficies Curvas fra 1827, hvori det bl.a. vises, at selv nok så lille en del af overfladen på en kugle ikke kan foldes ud i en plan uden forvrængninger.

En vigtig type af flader udviser rotationssymmetri omkring en akse i rummet, de såkaldte omdrejningsflader. Matematisk set fremkommer en omdrejningsflade ved, at en kurve beliggende i en plan gennem en fast akse i rummet drejes 360° omkring aksen; kurven kaldes meridiankurven for omdrejningsfladen. Cylinderflader og kegleflader er eksempler på omdrejningsflader, hvor meridiankurven er et linjestykke. En kugleflade kan opfattes som en omdrejningsflade fremkommet ved at dreje en halvcirkel 360° omkring den afgrænsende diameter.

Mange flader opstår som grafen for en funktion \(g(x,y)\) i to variable \(x,y\). I et sædvanligt retvinklet koordinatsystem i rummet kan man tænke på grafen som konturen af et landskab fastlagt ved højden \(z = g(x,y)\) i forhold til xy-planen. En vilkårlig flade kan i et passende koordinatsystem på små stykker beskrives ved en graf.

Flader fremkommer ofte som løsningsmængder til ligninger \(f(x,y,z)=0\), idet \(f(x,y,z) \) er en passende funktion i tre variable. Er funktionen \(f\) specielt et polynomium, fås en algebraisk flade; se algebraisk geometri. For andengradspolynomier, se andengradsflade.

I kompleks funktionsteori spiller de såkaldte Riemann-flader en vigtig rolle i forbindelse med studiet af flertydige komplekse funktioner.

Man kan altid vælge en omløbsretning omkring ethvert punkt på en flade. Hvis disse omløbsretninger kan vælges konsistent hen over fladen, siges den at være orienterbar; i modsat fald ikke-orienterbar. Omløbsretningen omkring et punkt på en orienterbar flade kan fastlægges, så den danner en højreskrue med en normalretning til fladen. En model for alle ikke-orienterbare flader blev opdaget af A.F. Möbius. Et såkaldt Möbius-bånd fremkommer af et rektangulært bånd ved at lime et par af modstående kanter sammen efter at have givet båndet en halv snoning.

En flade, som falder i ét stykke, har begrænset udstrækning og løber tilbage i sig selv (ingen randkurver), kaldes en lukket flade. Enhver orienterbar lukket flade er topologisk ækvivalent (homeomorf) med en kugleflade eller overfladen på en kugle med hanke. Antallet af hanke på kuglen kaldes fladens slægt, eller genus. Tilsvarende er enhver ikke-orienterbar lukket flade topologisk ækvivalent med en flade opbygget af Möbius-bånd. I dette tilfælde kaldes antallet af Möbius-bånd for fladens slægt. En ikke-orienterbar lukket flade kan ikke realiseres i rummet uden selvgennemskæringer.

Det netop beskrevne resultat om strukturen af en lukket flade er en milepæl i topologiens historie. Den første fuldstændige fremstilling af de lukkede fladers topologiske klassifikation er givet i en oversigtsartikel om topologi fra 1907 af M. Dehn og P. Heegaard. Viden om fladernes geometri og topologi spiller en vigtig rolle i studiet af mangfoldigheder (højere dimensionale geometriske objekter), som i 1900-tallet har været et fremtrædende forskningsområde i matematikken.

• geometri
• differentialgeometri
• topologi
• mangfoldighed