Torque

 Nota: Para outros significados, veja Torque (desambiguação).

Torque
Relação entre a força F, o torque τ, o momento linear p e o momento angular L em um sistema cuja rotação está restrita a um único plano, sem considerar forças e momentos devidos à gravidade e ao atrito
Símbolos comuns	$\tau$, M
Unidade do SI	N⋅m
Em unidades básicas do SI	kg⋅m2⋅s−2
Dimensão	${\mathsf {M}}{\mathsf {L}}^{2}{\mathsf {T}}^{-2}$

Em física e mecânica, torque é a grandeza rotacional correspondente à força linear. Também é chamado de momento de força, ou simplesmente momento. Assim como uma força linear pode ser entendida como um empurrão ou uma tração aplicada a um corpo, o torque pode ser entendido como uma torção aplicada a um objeto em relação a um eixo escolhido. Ao apertar um parafuso, por exemplo, uma chave de fenda aplica torque ao parafuso e faz com que ele tenda a girar em torno de seu eixo.

A terminologia varia conforme a região e a área de estudo. Em geral, torque é mais usado na física, enquanto momento é mais comum na engenharia. Este artigo adota o uso de torque comum na física dos Estados Unidos.

O torque costuma ser representado matematicamente pela letra grega minúscula tau (τ). Quando é chamado de momento de força, costuma-se usar M.

Terminologia histórica

A relação entre força, distância ao ponto de apoio e equilíbrio era estudada muito antes do surgimento da palavra "torque". No livro I de Sobre o equilíbrio dos planos, Arquimedes tratou da estática e da lei da alavanca. Entre seus resultados está a condição em que duas grandezas se equilibram a distâncias inversamente proporcionais a seus valores.

O termo torque, do latim torquēre, "torcer", teria sido sugerido por James Thomson e apareceu impresso em abril de 1884. No mesmo ano, Silvanus P. Thompson usou o termo na primeira edição de Dynamo-Electric Machinery. Thompson explicou sua escolha desta forma:

Assim como a definição newtoniana de força é aquilo que produz ou tende a produzir movimento ao longo de uma linha, torque pode ser definido como aquilo que produz ou tende a produzir torção em torno de um eixo. É melhor usar um termo que trate essa ação como uma única entidade definida do que empregar termos como "binário" e "momento", que sugerem ideias mais complexas. A noção simples de uma torção aplicada para girar um eixo é melhor do que a noção mais complexa de aplicar uma força linear, ou um par de forças, com certo braço de alavanca.

Na engenharia mecânica do Reino Unido e dos Estados Unidos, o torque costuma ser chamado de momento de força, geralmente abreviado para momento. Essa terminologia remonta pelo menos a 1811, no Traité de mécanique de Siméon Denis Poisson. Uma tradução inglesa da obra de Poisson foi publicada em 1842.

Definição e relação com outras grandezas físicas

Torque como produto vetorial entre a força e o vetor posição

Uma partícula está na posição r em relação ao eixo de rotação. Quando uma força F é aplicada, apenas a componente perpendicular F_⊥ produz torque. O torque ${\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F}$ tem módulo $\tau =rF_{\perp }=rF\sin \theta$ e aponta para fora da página.

O torque em torno de um eixo pode ser calculado multiplicando-se a componente da força aplicada perpendicularmente a uma alavanca pela distância até o fulcro, isto é, pelo comprimento do braço de alavanca.

O torque é definido como o produto entre o módulo da componente perpendicular da força e a distância entre a linha de ação da força e o ponto em torno do qual o torque é calculado.

Em três dimensões, o torque é um pseudovetor. Para uma partícula pontual, ele é dado pelo produto vetorial entre o vetor posição e o vetor força. A direção do torque pode ser determinada pela regra da mão direita. Se os dedos da mão direita forem curvados da direção do braço de alavanca para a direção da força, o polegar apontará na direção do torque. O vetor torque é perpendicular ao vetor posição e ao vetor força. Seu sentido segue a regra da mão direita. Uma força paralela ao vetor posição da partícula não produz torque.

O módulo do torque aplicado a um corpo rígido depende da força aplicada, do vetor braço de alavanca que liga o ponto de referência ao ponto de aplicação da força e do ângulo entre os dois vetores. Em símbolos:

$${\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} \implies \tau =rF_{\perp }=rF\sin \theta$$

onde:

• ${\boldsymbol {\tau }}$ é o vetor torque e $\tau$ é seu módulo;
• $\mathbf {r}$ é o vetor posição, que vai do ponto em relação ao qual o torque é medido até o ponto onde a força é aplicada, e r é o módulo desse vetor;
• $\mathbf {F}$ é o vetor força, F é seu módulo e F_⊥ é a componente da força perpendicular ao vetor posição;
• $\times$ representa o produto vetorial;
• $\theta$ é o ângulo entre o vetor força e o vetor posição.

O ponto de referência pode ser escolhido livremente e não precisa coincidir com um pivô físico ou sequer pertencer ao corpo. Uma vez escolhido esse ponto, o vetor r pode terminar em qualquer ponto da linha de ação da força. Deslocar sua extremidade ao longo dessa linha não modifica o torque, porque o deslocamento acrescentado é paralelo a F e seu produto vetorial com F é nulo.

A unidade do Sistema Internacional para o torque é o newton-metro (N⋅m). Para mais detalhes, veja a seção Unidades.

Momento em relação a um eixo

O vetor ${\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F}$ dá o momento da força em relação a um ponto. Quando interessa a rotação em torno de um eixo específico, usa-se a componente desse vetor ao longo do eixo. Se ${\hat {\mathbf {u} }}$ é um vetor unitário orientado ao longo do eixo e r parte de qualquer ponto desse eixo até a linha de ação da força, o momento em relação ao eixo é

$$\tau _{\mathrm {eixo} }={\hat {\mathbf {u} }}\cdot (\mathbf {r} \times \mathbf {F} ).$$

O resultado é um escalar com sinal. Seu módulo mede a componente do momento capaz de produzir rotação em torno daquele eixo, e o sinal depende da orientação escolhida para ${\hat {\mathbf {u} }}$.

Relação com o momento angular

O torque resultante sobre um corpo determina a taxa de variação de seu momento angular:

$${\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {res} }={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}},$$

em que $\mathbf {L}$ é o vetor momento angular e $t$ é o tempo.

Para uma partícula pontual,

$$\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} ,$$

em que p é o momento linear. No caso particular de uma partícula em movimento circular em torno de um ponto fixo, com r perpendicular à velocidade, pode-se escrever

$$\mathbf {L} =I{\boldsymbol {\omega }},$$

com $I=mr^{2}$.

Para um corpo rígido em três dimensões, o momento angular é relacionado à velocidade angular pelo tensor de inércia:

$$\mathbf {L} =\mathbf {I} {\boldsymbol {\omega }}.$$

Em geral, L e ω não precisam ser paralelos. Em um sistema de eixos preso ao corpo, a derivada do momento angular leva à forma

$${\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {res} }=\mathbf {I} {\dot {\boldsymbol {\omega }}}+{\boldsymbol {\omega }}\times (\mathbf {I} {\boldsymbol {\omega }}).$$

Quando os eixos escolhidos são eixos principais de inércia,

$${\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {res} }=I_{1}{\dot {\omega }}_{1}{\hat {\boldsymbol {e}}}_{1}+I_{2}{\dot {\omega }}_{2}{\hat {\boldsymbol {e}}}_{2}+I_{3}{\dot {\omega }}_{3}{\hat {\boldsymbol {e}}}_{3}+I_{1}\omega _{1}{\frac {\mathrm {d} {\hat {\boldsymbol {e}}}_{1}}{\mathrm {d} t}}+I_{2}\omega _{2}{\frac {\mathrm {d} {\hat {\boldsymbol {e}}}_{2}}{\mathrm {d} t}}+I_{3}\omega _{3}{\frac {\mathrm {d} {\hat {\boldsymbol {e}}}_{3}}{\mathrm {d} t}},$$

usando

$${\frac {\mathrm {d} {\hat {\boldsymbol {e}}}_{i}}{\mathrm {d} t}}={\boldsymbol {\omega }}\times {\hat {\boldsymbol {e}}}_{i}.$$

Essas relações levam às equações de Euler para a rotação tridimensional de um corpo rígido.

No caso mais simples de rotação em torno de um eixo principal fixo, com momento de inércia constante, o termo vetorial adicional se anula e a relação reduz-se a

$${\boldsymbol {\tau }}=I{\boldsymbol {\alpha }},$$

em que ${\boldsymbol {\alpha }}={\dot {\boldsymbol {\omega }}}$.

Um torque perpendicular ao momento angular pode modificar a direção de L sem alterar seu módulo. Esse mecanismo produz, por exemplo, a precessão de um pião ou giroscópio em rotação.

Demonstração da equivalência das definições

Para uma única partícula pontual,

$$\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} .$$

A derivada em relação ao tempo é

$${\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {r} \times {\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}+{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\times \mathbf {p} .$$

O resultado pode ser obtido separando os vetores em componentes e aplicando a regra do produto. Como a taxa de variação do momento linear é a força $\mathbf {F}$ e a taxa de variação da posição é a velocidade $\mathbf {v}$,

$${\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} +\mathbf {v} \times \mathbf {p} .$$

O produto vetorial entre $\mathbf {v}$ e $\mathbf {p}$ é nulo porque os dois vetores são paralelos. O segundo termo desaparece e resta

$${\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} ={\boldsymbol {\tau }}.$$

Se mais de uma força atua sobre a partícula, a segunda lei de Newton dá

$${\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} _{\mathrm {res} }={\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {res} }.$$

A demonstração pode ser estendida a um sistema de partículas aplicando-se o mesmo procedimento a cada partícula e somando os resultados. Para uma distribuição contínua de massa, a soma é substituída por uma integral.

Derivadas do torque

Em parte da literatura, rotatum é o nome dado à derivada do torque em relação ao tempo:

$$\mathbf {P} ={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\tau }}}{\mathrm {d} t}},$$

em que τ é o torque.

A palavra deriva do latim rotātus, "girar". O termo não é universalmente aceito e não existe uma nomenclatura universal para suas derivadas sucessivas.

Usando a definição do torque por produto vetorial,

$$\mathbf {P} =\mathbf {r} \times {\frac {\mathrm {d} \mathbf {F} }{\mathrm {d} t}}+{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\times \mathbf {F} .$$

Se a taxa de variação da força for representada por $\mathbf {Y}$ e a velocidade por $\mathbf {v}$,

$$\mathbf {P} =\mathbf {r} \times \mathbf {Y} +\mathbf {v} \times \mathbf {F} .$$

Relação com potência e energia

A conservação de energia também pode ser usada para tratar o torque. Quando uma força atua ao longo de uma distância, realiza trabalho mecânico. Do mesmo modo, um torque que atua ao longo de um deslocamento angular realiza trabalho. Para uma rotação em torno de um eixo fixo, o trabalho W pode ser escrito como

$$W=\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}\tau \,\mathrm {d} \theta ,$$

em que τ é o torque e θ₁ e θ₂ são as posições angulares inicial e final do corpo.

Pelo princípio trabalho-energia, W também representa a variação da energia cinética de rotação E_r de um corpo que gira em torno de um eixo fixo:

$$E_{\mathrm {r} }={\tfrac {1}{2}}I\omega ^{2},$$

em que I é o momento de inércia do corpo em relação ao eixo e ω é sua velocidade angular.

A potência instantânea fornecida por um torque é

$$P={\boldsymbol {\tau }}\cdot {\boldsymbol {\omega }},$$

em que P é a potência e $\cdot$ representa o produto escalar. Para rotação em torno de um eixo fixo, com torque e velocidade angular ao longo desse eixo, a expressão reduz-se a $P=\tau \omega$.

A potência fornecida pelo torque depende da velocidade angular instantânea. Ela pode ser diferente de zero enquanto a velocidade angular aumenta, diminui ou permanece constante, conforme os demais torques que atuam no sistema.

Demonstração

O trabalho realizado por uma força variável ao longo de um deslocamento linear é

$$W=\int \mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} .$$

Para uma rotação infinitesimal,

$$\mathrm {d} \mathbf {s} =\mathrm {d} {\boldsymbol {\theta }}\times \mathbf {r} .$$

Substituindo essa relação,

$$W=\int \mathbf {F} \cdot (\mathrm {d} {\boldsymbol {\theta }}\times \mathbf {r} ).$$

O integrando é um produto misto e pode ser reorganizado:

$$\mathbf {F} \cdot (\mathrm {d} {\boldsymbol {\theta }}\times \mathbf {r} )=(\mathbf {r} \times \mathbf {F} )\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\theta }}={\boldsymbol {\tau }}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\theta }}.$$

Logo,

$$W=\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}{\boldsymbol {\tau }}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\theta }}.$$

Se o torque e o deslocamento angular têm a mesma direção,

$${\boldsymbol {\tau }}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\theta }}=\tau \,\mathrm {d} \theta ,$$

e

$$W=\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}\tau \,\mathrm {d} \theta .$$

Princípio dos momentos

O princípio dos momentos, também chamado teorema de Varignon, estabelece que o momento resultante de forças concorrentes em relação a um ponto é igual à soma dos momentos das forças componentes em relação ao mesmo ponto.

Para N forças,

$${\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {F} _{1}+\mathbf {r} _{2}\times \mathbf {F} _{2}+\ldots +\mathbf {r} _{N}\times \mathbf {F} _{N}.$$

Os torques dessas forças ficam equilibrados quando

$$\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {F} _{1}+\mathbf {r} _{2}\times \mathbf {F} _{2}+\ldots +\mathbf {r} _{N}\times \mathbf {F} _{N}=\mathbf {0} .$$

Unidades

No Sistema Internacional de Unidades, a unidade do torque é o newton-metro, com símbolo N⋅m. Embora seja dimensionalmente equivalente ao joule, o joule não é usado para expressar torque.

A relação entre trabalho e torque,

$$W=\int \tau \,\mathrm {d} \theta ,$$

permite escrever formalmente o torque como energia por deslocamento angular, J/rad ou N⋅m/rad. No SI, o radiano é uma unidade derivada de dimensão um. A forma convencional para a unidade de torque permanece N⋅m.

Torque e energia têm as mesmas dimensões fundamentais, mas são grandezas distintas. A energia é escalar, enquanto o torque em três dimensões é um pseudovetor. Uma proposta para explicitar essa diferença em análise dimensional é a análise orientacional, na qual o radiano recebe uma dimensão própria.

A dimensão do torque é força vezes distância,

$$[\tau ]={\mathsf {M}}{\mathsf {L}}^{2}{\mathsf {T}}^{-2},$$

a mesma combinação dimensional encontrada na energia e no trabalho.

Conversão da velocidade de rotação

Quando a velocidade de rotação é expressa em revoluções por unidade de tempo, em vez de radianos por segundo, deve-se usar a relação de $2\pi$ radianos por revolução. Se P é a potência, τ o torque e ν a velocidade de rotação,

$$P=\tau \,2\pi \nu .$$

Para ν em revoluções por segundo,

$$P_{\rm {W}}=\tau _{\rm {N\cdot m}}\,2\pi _{\rm {rad/rev}}\,\nu _{\rm {rev/s}}.$$

Para uma velocidade dada em rotações por minuto,

$$P_{\rm {W}}={\frac {\tau _{\rm {N\cdot m}}\,2\pi _{\rm {rad/rev}}\,\nu _{\rm {rev/min}}}{60\ {\rm {s/min}}}}.$$

A relação é a mesma expressão $P=\tau \omega$, com a velocidade de rotação convertida para velocidade angular.

Derivação

Para um objeto que gira em torno de um eixo, a distância linear percorrida por um ponto a uma distância r do eixo é

$$s=r\theta .$$

Como $s=vt$ e $v=r\omega$,

$$s=r\omega t.$$

Para uma força tangencial, $\tau =rF$, portanto $F=\tau /r$. Substituindo na definição de potência,

$${\begin{aligned}P&={\frac {Fs}{t}}\\&={\frac {\left({\dfrac {\tau }{r}}\right)(r\omega t)}{t}}\\&=\tau \omega .\end{aligned}}$$

Se a velocidade for dada em revoluções por unidade de tempo, $\omega =2\pi \nu$, e

$$P=\tau \,2\pi \nu .$$

Casos especiais e outras propriedades

Fórmula do braço de momento

Diagrama do braço de momento.

Um caso especial usado com frequência para calcular o módulo do torque é

$$\tau =({\text{braço de momento}})({\text{força}}).$$

O braço de momento é a distância perpendicular entre o ponto ou eixo de referência e a linha de ação da força. Essa forma fornece o módulo, mas não a direção do torque, o que limita seu uso em problemas tridimensionais.

Se a força for perpendicular ao vetor posição, o braço de momento terá o mesmo comprimento de r e o módulo do torque será máximo para aquela força e distância:

$$\tau =({\text{distância ao eixo}})({\text{força}}).$$

Se uma pessoa aplica uma força de 10 N perpendicularmente à extremidade de uma chave a 0,5 m do eixo do parafuso, o torque tem módulo de 5 N⋅m.

O torque altera o momento angular L na direção de τ. Quando o torque permanece perpendicular a L, a mudança da direção do momento angular produz precessão.

Binário de forças

Um binário de forças é formado por duas forças paralelas de mesmo módulo e sentidos opostos, aplicadas em linhas de ação distintas. A força resultante do par é zero, mas seus momentos não se anulam. O resultado é um torque sem força resultante.

Se cada força tem módulo F e a distância perpendicular entre suas linhas de ação é d, o módulo do torque do binário é

$$\tau =Fd.$$

Ao contrário do torque produzido por uma única força, o torque de um binário não depende do ponto de referência escolhido. Em forma vetorial, se $\mathbf {d}$ liga as linhas de ação das duas forças com a orientação adequada,

$${\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {bin} }=\mathbf {d} \times \mathbf {F} .$$

Por não depender da origem escolhida, o torque de um binário pode ser tratado como um vetor livre em problemas de estática.

Equilíbrio estático

Para um objeto estar em equilíbrio estático, a soma das forças externas deve ser nula e a soma dos torques externos em relação a qualquer ponto também deve ser nula.

Em duas dimensões, com eixos horizontal e vertical, as condições podem ser escritas como

$$\sum F_{x}=0,\qquad \sum F_{y}=0,\qquad \sum \tau =0.$$

Essas três equações são usadas para resolver problemas bidimensionais estaticamente determinados.

Força resultante e ponto de referência

Quando a força resultante sobre um sistema é nula, o torque resultante tem o mesmo valor em relação a qualquer ponto de referência. Um binário de forças é um caso desse tipo.

Para uma força resultante não nula, o torque depende do ponto escolhido. Se ${\boldsymbol {\tau }}_{1}$ é o torque em relação a um ponto de vetor posição $\mathbf {r} _{1}$ e ${\boldsymbol {\tau }}_{2}$ é o torque em relação a um segundo ponto de vetor posição $\mathbf {r} _{2}$, ambos medidos no mesmo sistema de coordenadas, então

$${\boldsymbol {\tau }}_{2}={\boldsymbol {\tau }}_{1}+(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})\times \mathbf {F} _{\mathrm {res} }.$$

A relação segue diretamente da definição do vetor posição usado no produto vetorial do torque. Se $\mathbf {F} _{\mathrm {res} }=\mathbf {0}$, o termo adicional desaparece e o torque torna-se independente da escolha da origem.

Torque de máquinas

Curva de torque de uma motocicleta BMW K 1200 R de 2005. O eixo horizontal mostra a velocidade de rotação, em rotações por minuto, do virabrequim. O eixo vertical mostra o torque, em newton-metros, que o motor pode fornecer em cada velocidade.

O torque faz parte das especificações de um motor. A potência mecânica fornecida por um eixo é o produto do torque pela velocidade angular do eixo.

Motores de combustão interna produzem torque útil em uma faixa limitada de velocidades de rotação. Em um automóvel pequeno, essa faixa pode se estender aproximadamente de 1.000 a 6.000 rpm, dependendo do projeto do motor. A variação do torque com a rotação pode ser medida com um dinamômetro e representada por uma curva de torque. Máquinas a vapor alternativas e muitos motores elétricos podem produzir torque a partir de zero rpm, o que permite iniciar uma carga sem uma embreagem mecânica.

A relação entre potência e torque também aparece em bicicletas. O ciclista fornece potência ao girar os pedais e o pedivela. A potência de entrada é o produto da velocidade angular do pedivela pelo torque aplicado a seu eixo. O sistema de transmissão leva essa potência até a roda.

Uma relação de transmissão diferente altera a combinação entre torque e velocidade angular. Uma engrenagem traseira maior, ou uma marcha mais baixa, reduz a velocidade angular da roda em relação ao pedivela e aumenta o torque. Em um sistema ideal sem perdas, o produto entre torque e velocidade angular permanece constante, de modo que a potência de entrada e a de saída são iguais.

Medição

Em uma medição estática, um torque desconhecido pode ser equilibrado por um torque conhecido. Uma força conhecida aplicada a uma distância perpendicular conhecida fornece o valor do torque de equilíbrio.

Em eixos giratórios, o torque pode ser medido por dinamômetros e transdutores de torque. Um método comum consiste em medir a pequena deformação torsional do eixo. Sensores com extensômetros convertem essa deformação em um sinal elétrico, e outros sistemas podem medir diretamente o deslocamento angular relativo entre duas seções do eixo.

Um torquímetro, também chamado chave dinamométrica, é usado para aplicar ou verificar um torque de aperto determinado em parafusos e porcas.

Multiplicação do torque

O torque pode ser aumentado por meio de uma alavanca mais longa, pela mudança da posição do fulcro ou por um conjunto de engrenagens redutoras. Em uma transmissão ideal, o aumento do torque é acompanhado pela redução da velocidade angular, de modo que a potência permanece constante.

Ver também

• Momento (física), conceito geral de momento aplicado a grandezas físicas
• Momento angular, grandeza cuja taxa de variação temporal é determinada pelo torque resultante
• Momento de inércia, relaciona a distribuição de massa à resposta rotacional de um corpo
• Conversor de torque, dispositivo que transmite torque entre elementos rotativos

Ligações externas

• "Horsepower and Torque" (versão arquivada em 28 de março de 2007), artigo sobre potência, torque e relações de transmissão em veículos.
• Torque and Angular Momentum in Circular Motion, no Project PHYSNET.
• Simulação interativa de torque.
• Conversor de unidades de torque.
• A feel for torque, recurso interativo sobre ordens de grandeza.