Axiomatizarea Fizicii și teoria informației

Deși inteligența artificială a progresat enorm în ultimii ani, din moment ce calculatorul poate bate un om la șah și totuși nu văd preocupări pentru formalizarea Fizicii, o formalizare care să permită oamenilor de Știință să introducă în calculator niște axiome unanim acceptate și apoi să poată infera din acestea toate celelalte teoreme necesare pentru explicarea lumii.

Dacă ar exista un asemenea sistem formalizat, atunci n-ar mai exista mistere privind materia întunecată sau privind teoria câmpului unificat, căci toate problemele fundamentale ale Fizicii ar fi rezolvate într-un timp determinat. Restul ar fi „detalii”, cum ar zice Einstein.

Așadar, ce ne împiedică să creăm un sistem formalizat al Fizicii? Eu cred că încă nu s-au găsit axiomele acesteia, adică nu s-au găsit acele propoziții de început pe care să ne putem baza cu toții și din care să extragem apoi cu ajutorul calculatorului toate concluziile necesare.

Pe mine mă tentează să folosesc puternicul sistem de calcul numit Maxima. De asemenea, mă tentează să pornesc de la o axiomă destul de interesantă:

-lumea nu este altceva decât o succesiune de 0 și 1.

Pornind de la o asemenea axiomă, cum i-aș putea spune lui Maxima ce este un electron sau ce este lumina sau ce este o stea, o planetă, o galaxie? Cum i-aș putea spune ce este câmpul gravitațional sau cel electromagnetic?

Ar apărea întrebări de genul:

-este lumea o mulțime finită de 0 și 1, o mulțime infinită numărabilă sau nenumărabilă?

-am putea asocia fiecărui punct din spațiu câte un 0 sau un 1? Sau ar trebui să-i asociem fiecărui punct din spațiu un șir finit sau infinit bine stabilit de 0 și 1?

-cât de repede s-ar schimba acest bit de informație? Ce implicație ar avea trecerea timpului asupra unei asemenea concepții?

-ar fi suficientă o singură mașină Turing pentru a descrie întreaga complexitate a lumii?

Urmează să mă gândesc la asemenea lucruri...

Am putea simula întreaga Fizică în programul Maxima?

Am început să mă gândesc la simularea întregii Fizici în programul Maxima. Mai exact, aș dori să văd cum pot modela în acest program noțiuni precum „impuls”, „forță”, „căldură”, „corp”, „traiectorie”, „ecuație de mișcare”, „gravitație”, „constanta lui Planck” și mai știu eu ce alte chestii.

E posibil? Dacă da, cum? Ce credeți voi despre toate acestea?

Parametrii intrinseci nu se schimbă prin permutări circulare

În aceleaşi condiţii de calcul precum sunt acelea din materialul anterior (condiţii pe care voi începe să nu le mai precizez în materialele viitoare, ele fiind subînţelese) arătăm aici că parametrii intrinseci ai unei curbe (sau, echivalent, ai unui câmp vectorial) definite într-un reper cartezian nu se modifică dacă aplicăm permutări circulare componentelor curbei.

Aşadar, dacă definim curbura, torsiunea, darbuzianul şi lancretianul pe „înţelesul” minunatului program Maxima

, atunci Maxima ne arată că aceşti parametri nu depind de permutările circulare pe care le facem asupra componentelor (pentru că raportul dintre parametrul asociat curbei iniţiale şi parametrul asociat curbei permutate este egal cu unitatea):

.

Lancretianul este independent de scală

Am făcut nişte calcule cu Maxima care arată că lancretianul asociat unei curbe este independent de scală, de „dimensiunile reperului”. Vedeţi mai jos instantaneele luate după efectuarea calculelor.

Desigur, calculele pot fi reproduse de către oricine doreşte, prin simpla copiere în Maxima a formulelor următoare pe care le-am folosit eu în acest caz:

vectorial(x,y):=[x[2]*y[3]-x[3]*y[2],x[3]*y[1]-x[1]*y[3],x[1]*y[2]-x[2]*y[1]];
scalar(x,y):=x[1]*y[1]+x[2]*y[2]+x[3]*y[3];
mixt(x,y,z):=scalar(x,vectorial(y,z));
modul(x):=sqrt(x[1]^2+x[2]^2+x[3]^2);
curbura(x,t):=modul(vectorial(diff(x,t),diff(x,t,2)))/modul(diff(x,t))^3;
torsiune(x,t):=mixt(diff(x,t),diff(x,t,2),diff(x,t,3))/modul(vectorial(diff(x,t),diff(x,t,2)))^2;
lancret(x,t):=curbura(x,t)/torsiune(x,t);
darbuz(x,t):=sqrt(curbura(x,t)^2+torsiune(x,t)^2);
 

curba:[a(t),b(t),c(t)];
 

ratsimp(curbura(curba,t)/curbura(curba*u,t));
ratsimp(torsiune(curba,t)/torsiune(curba*u,t));
ratsimp(darbuz(curba,t)/darbuz(curba*u,t));
ratsimp(lancret(curba,t)/lancret(curba*u,t));

Faptul că lancretianul nu depinde de dilatarea reperului face posibil studiul în laborator al comportării avioanelor sau al navelor maritime. De asemenea, acest fapt foarte important ne arată că lancretianul este un invariant relativist. Această ultimă proprietate sugerează că lancretianul are astfel cel puţin o asemănare cu sarcina electrică. 

Curbura, torsiunea şi darbuzianul asociate curbei depind toate de parametrul u folosit aici pentru a dilata reperul, spre deosebire de lancretian, singurul care nu este afectat de valoarea absolută a parametrului u, ci doar de semnul acestuia.

Maxima despre gradient, rotor şi divergenţă

Preocupat fiind de găsirea unei relaţii între formulele lui Frenet şi ecuaţiile lui Maxwell, am reuşit să mai pun Maxima la lucru pentru ca acesta să-mi prezinte alte câteva rezultate interesante din calculul vectorial. Iată-le mai jos:
Iniţial definim cu Maxima noţiunile de diferenţiere (a unui vector în raport cu altul), gradient, divergenţă, rotor, produs vectorial, modul, produs scalar.

(%i1) difer(u,v):=[diff(u[1],x)*v[1]+diff(u[1],y)*v[2]+diff(u[1],z)*v[3],diff(u[2],x)*v[1]+diff(u[2],y)*v[2]+diff(u[2],z)*v[3],diff(u[3],x)*v[1]+diff(u[3],y)*v[2]+diff(u[3],z)*v[3]];grad(f,v):=[diff(f,v[1]),diff(f,v[2]),diff(f,v[3])];diver(u,v):=diff(u[1],v[1])+diff(u[2],v[2])+diff(u[3],v[3]);rotor(u,v):=[diff(u[3],v[2])-diff(u[2],v[3]),diff(u[1],v[3])-diff(u[3],v[1]),diff(u[2],v[1])-diff(u[1],v[2])];vectorial(x,y):=[x[2]*y[3]-x[3]*y[2],x[3]*y[1]-x[1]*y[3],x[1]*y[2]-x[2]*y[1]];modul(u):=sqrt(u[1]^2+u[2]^2+u[3]^2);scalar(x,y):=x[1]*y[1]+x[2]*y[2]+x[3]*y[3];

cu rezultatul afişat drept

.
Definim apoi noţiunile de rotor diferenţial şi divergenţă diferenţială prin expresiile matematice recunoscute de Maxima:

(%i8) rotdif(u,v):=vectorial(u,rotor(v,[x,y,z]))+difer(u,v);

,
(%i9) divdif(u,v):=u*diver(v,[x,y,z])+difer(u,v);

.

Definim apoi vectorii u şi v astfel încât Maxima să poată lucra cu ei:

(%i10) u:[xu(x,y,z,t),yu(x,y,z,t),zu(x,y,z,t)];v:[xv(x,y,z,t),yv(x,y,z,t),zv(x,y,z,t)];r:[x,y,z];

.

Din acest moment putem să-i dăm efectiv de lucru programului de calcul Maxima, interogându-l despre câteva rezultate banale din calculul vectorial, cum ar fi de exemplu despre adevărul faptului că rotorul unei sume este suma rotorilor:
(%i13) rotor(u+v,r)-(rotor(u,r)+rotor(v,r));

,
ori că divergenţa unui rotor este nulă

(%i14) ratsimp(diver(rotor(u,r),r));
 

.
Dar mai interesante şi mai greu de obţinut sunt rezultatele privind faptul că gradientul unui produs scalar este suma rotorilor diferenţiali corespunzători

(%i15) ratsimp(grad(scalar(u,v),r)-rotdif(u,v)-rotdif(v,u));

şi privind faptul că rotorul unui produs vectorial este diferenţa celor două divergenţe diferenţiale

(%i16) ratsimp(rotor(vectorial(u,v),r)-divdif(u,v)+divdif(v,u));

 .

Se observă că, prin definiţie, atât rotorul diferenţial, cât şi divergenţa diferenţială sunt nişte vectori.

Acum, având la dispoziţie puterea de calcul a Maxima, avem posibilitatea să determinăm o mulţime de alte relaţii interesante din calculul vectorial pe care l-am putea aplica şi câmpului electromagnetic în vid pentru a găsi relaţia căutată dintre ecuaţiile lui Maxwell şi formulele lui Frenet.

Maxima confirmă că orice vector are un triedru Frenet

Am început recent să utilizez programul de calcul automat Maxima pentru a testa din nou valabilitatea celor spuse de teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet.

Pentru început, am testat dacă este adevărat că orice vector variabil are un triedru Frenet. În câteva minute, Maxima a prezentat următoarele rezultate:

-La (%i1) sunt definite viteza unui vector oarecare u, modulul său, tangenta, normala, binormala, produsul scalar şi vectorial precum şi viteza unghiulară de curbare şi de torsionare:

  

-(%i12) este definiţia vectorului oarecare şi a derivatei sale în raport cu parametrul t.

-Rezultatul (%o14) ne arată că produsul vectorial dintre derivata binormalei şi normală este nul, ceea ce înseamnă că derivata binormalei şi normala sunt vectori coliniari, oricum ar fi definit vectorul r(t).

-De asemenea, (%o15) ne spune că şi derivata tangentei este coliniară cu normala, oricare ar fi vectorul r(t).

-De la (%o16) se observă că viteza unghiulară vu(t), aşa cum a fost ea definită, este viteza de variaţie atât a tangentei, cât şi a normalei şi a binormalei, deci este viteza de rotaţie a triedrului Frenet asociat vectorului r(t).

-În fine, ultimul rezultat, (%o19) este cel care demonstrează că viteza unghiulară a triedrului Frenet (asociat oricărui vector) este întotdeauna perpendiculară pe normală.

Cei care doriţi să testaţi aceste rezultate, instalaţi Maxima, deschideţi un fişier gol şi lipiţi definiţiile „viteza(u):=diff(u,t);modul(u):=sqrt(u[1]^2+u[2]^2+u[3]^2);tangenta(u):=u/modul(u);normala(u):=viteza(tangenta(u))/modul(viteza(tangenta(u)));vectorial(x,y):=[x[2]*y[3]-x[3]*y[2],x[3]*y[1]-x[1]*y[3],x[1]*y[2]-x[2]*y[1]];binormala(u):=vectorial(tangenta(u),normala(u));scalar(x,y):=x[1]*y[1]+x[2]*y[2]+x[3]*y[3];vc(u):=modul(viteza(tangenta(u)));vt(u):=modul(viteza(binormala(u)));vu(u):=vt(u)*tangenta(u)+vc(u)*binormala(u);l(u):=vc(u)/vt(u);
”, apoi testaţi rezultatele pentru vectorul „r(t):=[a(t),b(t),c(t)]”, cerându-i minunatului program să vă calculeze fiecare dintre cerinţele anterioare:

„radcan(trigsimp(vectorial(viteza(binormala(r(t))),normala(r(t)))));

radcan(trigsimp(vectorial(viteza(tangenta(r(t))),normala(r(t)))));

radcan(trigsimp(viteza(tangenta(r(t)))-vectorial(vu(r(t)),tangenta(r(t)))));

radcan(trigsimp(viteza(normala(r(t)))-vectorial(vu(r(t)),normala(r(t)))));

radcan(trigsimp(viteza(binormala(r(t)))-vectorial(vu(r(t)),binormala(r(t)))));

radcan(trigsimp(scalar(vu(r(t)),normala(r(t)))));”.

Prin aceasta, prezentul material demonstrează încă o dată că oricărui vector, de orice natură ar fi acesta (fie că este poziţia, impulsul, câmpul magnetic, electric sau gravitaţional) i se asociază tangenta, normala şi binormala, dar mai ales, aceşti versori satisfac formulele lui Frenet. Faceţi cumva şi profitaţi de aceste rezultate inedite şi cu consecinţe în întreaga Fizică!