Clasificarea curbelor

În contextul articolului precedent, un utilizator simpatic de pe forumul pentru cercetare (virgil_48) mi-a pus o problemă interesantă (și justificată și mult așteptată) privind deosebirea dintre o curbă simplă și una complicată. Îi voi răspunde acum mai riguros aici.

Există un parametru fundamental care face distincția dintre o curbă simplă și una complicată: lancretianul. Lancretianul unei curbe este raportul (deci fracția) dintre curbura curbei și torsiunea curbei. Bineînțeles, așa cum curbura curbei și torsiunea curbei depind de locul de pe curbă în care le măsurăm, la fel și lancretianul este o funcție de locul de pe curbă în care îl măsurăm. 

Cu lancretianul în minte putem să vorbim despre clasificarea curbelor. 

1. Cea mai simplă curbă este curba al cărei lancretian este constant (mai simplu decât constant nu se poate). Numim această curbă așa cum este numită ea și astăzi: elice propriu-zisă (noi i-am mai putea spune „elice de ordinul întâi”). Elicea are proprietatea remarcabilă că „se rotește” în jurul unei drepte.
2. Următoarea curbă, puțin mai complicată decât elicea, dar cea mai simplă curbă după elice este curba al cărei lancretian nu mai este constant, ci este variabil, dar variația lui este constantă. Mai exact derivata de ordinul întâi a lancretianului este constantă. Am putea să mai spunem că în acest caz „viteza lancretianului” este constantă. Cum să numim această curbă? Eu am ales denumirea de „elice de ordinul al doilea” sau „elice de ordinul doi”. În studiile curente, elicea de ordinul doi se mai numește și „curbă de precesie constantă” deoarece curba „precesează” în jurul unei drepte.
3. Următoarea curbă, puțin mai complicată decât elicea de ordinul doi, dar cea mai simplă curbă după această elice de ordinul doi este curba al cărei lancretian nu mai are „viteza” constantă, dar are „accelerația” constantă. Mai exact, lancretianul acestei curbe are derivata de ordinul doi constantă. Desigur, numesc această curbă „elice de ordinul trei”. Ea ar mai putea fi numită și „curbă de nutație constantă”, deoarece curba „nutează” în jurul unei drepte.
4. Și așa mai departe...

Așadar, sper că acest articol face o idee despre complexitatea curbelor. Teorema de recurență a formulelor lui Frenet ne demonstrează că orice curbă, oricât de complicată ar părea ea, nu este altceva decât o elice de un anumit ordin. Cu cât este mai mare acest ordin, cu atât este mai complicată curba.

Torsiunea de ordin superior este dată de precesia darbuzorilor

Observați că teorema spune că torsiunea de ordin superior este dată de $\tau_{n+1}=\sqrt{\dot\theta_n^2+\dot\theta_{n-1}^2+\dots+\dot\theta_1^2+\tau^2}$, unde $\tau$ este torsiunea de ordinul cel mai mic, torsiunea fundamentală, care este, probabil, o constantă universală. Aici, unghiurile $\theta_i$ cu indicele de la 1 la n sunt unghiurile cu care precesează darbuzorii respectivi.

De exemplu, pentru elice, toți darbuzorii sunt constanți, deci unghiul de precesie este nul. Pentru curba de precesie constantă (care este o elice de ordinul doi), darbuzorul de ordinul unu variază, dar sunt constanți toți ceilalți darbuzori. Și așa mai departe.

Mai observați că radicalul ce semnifică torsiunea poate fi considerat un fel de „distanță” într-un spațiu n-dimensional.

Lancretianul leagă modulul vitezei de direcţia ei

După cum am arătat într-un material anterior, ambele viteze elicoidale (deci, atât viteza longitudinală, cât şi viteza transversală) depind numai de lancretian şi sunt complet independente de darbuzian. Mai exact, dacă o bilă se deplasează pe o elice circulară, atunci modulul proiecţiei vitezei sale reale pe axa elicei, adică viteza ei longitudinală (deci, viteza medie a bilei) depinde de lancretianul elicei după formula cunoscută

  .

Aşadar, modulul vitezei medii depinde de lancretian. Dacă lancretianul creşte (scade), atunci modulul vitezei medii scade (creşte), în ipoteza că viteza reală pe elice rămâne desigur constantă. Reciproc, dacă modulul vitezei medii se modifică (în timp ce modulul vitezei reale pe elice este constantă), atunci lancretianul se modifică şi el (în sens opus).

Hmmm... Deci modificarea modulului vitezei medii implică modificarea lancretianului. Dar, vai! Noi ştim din teorema lui Lancret că axa elicei este fixă în spaţiu dacă şi numai dacă lancretianul este constant. Aşadar, dacă lancretianul se modifică, atunci axa "elicei" nu mai este fixă în spaţiu. Numai dacă lancretianul este constant, numai atunci axa elicei este fixă în spaţiu. Altfel această axă precesează şi nu mai putem spune despre corp că se deplasează pe o elice, ci doar că se deplasează eventual pe o curbă de precesie constantă (acesta fiind motivul pentru care am folosit ghilimelele mai sus). 

Acum să combinăm cele două concluzii, ca să vedem ce iese. Prima concluzie a fost că dacă modificăm modulul vitezei medii, trebuie să se modifice şi lancretianul. A doua concluzie a fost că dacă modificăm lancretianul, atunci se modifică inevitabil axa "elicei". Aşadar, ce rezultă de fapt? Rezultă că dacă se modifică modulul vitezei medii, atunci se modifică şi direcţia ei! Şi reciproc, evident, dacă modificăm direcţia vitezei medii, atunci modificăm inevitabil şi modulul acestei viteze medii!

Această însuşire fundamentală a lancretianului de a lega solidar modulul de direcţie scoate în evidenţă proprietăţi noi ale mişcării corpurilor, proprietăţi care în mod sigur nu au fost încă valorificate în practică. De exemplu, din raţionamentele noastre ar putea rezulta că un mediu mai dens are lancretianul mai mare decât un mediu mai puţin dens. Şi poate tocmai de aceea, viteza luminii ar scădea la intrarea ei într-un mediu mai dens şi ar creşte la ieşirea într-un mediu mai rarefiat. S-ar deschide astfel noi porţi pentru ipoteza corpusculară a luminii aşa cum şi-a imaginat-o încă Newton (dar care n-a putut s-o susţină, căci n-a putut explica la vremea aceea de ce viteza luminii scade la intrarea în mediul dens, lui ieşindu-i o viteză mai mare decât în mediul rarefiat).

Amprenta hidrodinamică şi precesia mustăţilor

Probleme cu precesia Pământului

Mulţi dintre cititorii mei ştiu deja că nu sunt de acord cu explicaţia actuală a cauzei pentru care axa de rotaţie a Pământului nu este fixă, ci precesează. Încerc mai jos să fac o sinteză a motivelor care mă determină să repudiez explicaţia actuală.

Motive de circumstanţă.

-1). Influenţa Lunii.

Se ştie că primul om care a explicat precesia axei de rotaţie a Pământului a fost marele fizician Isaac Newton. Acesta a fost atât de entuziasmat de legea gravitaţiei pe care a descoperit-o recent, încât a crezut că legea lui poate explica aproape totul, chiar şi precesia Pământului. Astfel, el a presupus că precesia axei de rotaţie a Pământului se datorează faptului că Pământul nu este sferic, ci este mai bombat la ecuator, motiv pentru care Soarele ar atrage diferenţiat aceste proeminenţe ecuatoriale, cea mai apropiată ar fi atrasă mai puternic de Soare, iar cea mai îndepărtată mai slab.

Newton a crezut că Soarele este suficient pentru a explica precesia pentru că el s-a mulţumit cu o explicaţie calitativă a fenomenului. De-a lungul anilor, însă, pe măsură ce matematicienii au început să facă tot felul de calcule, iar astronomii au început să descopere şi nutaţia Pământului şi mai ales faptul că perioada nutaţiei are legătură cu perioada de precesie a orbitei Lunii, a devenit din ce în ce mai necesar să se introducă în ecuaţie şi Luna, sfidându-se tacit explicaţia lui Newton care se baza doar pe Soare.

Cred că Newton s-ar răsuci în mormânt să vadă că astăzi pentru a se explica precesia Pământului nu mai este suficient ditamai Soarele, ci se face apel la Lună şi chiar şi la restul planetelor. Ba s-a ajuns chiar în situaţia în care Luna se consideră mai importantă în precesie decât Soarele, cuplul creat de acesta din urmă fiind calculat a fi mai mic decât cel creat de Lună. Vă daţi seama? Adică, în loc să mişte Pământul Luna, pentru că Luna este un corp mai uşor decât Pământul, am ajus de râsul curcilor să spunem că Luna reuşeşte să se menţină ea însăşi pe o asemenea orbită încât să mişte ea Pământul, nu invers.

Deci, acesta a fost unul dintre motivele care mă determină să repudiez explicaţia actuală a precesiei. Nu pot să accept că Newton a explicat precesia într-un fel, după care vin deştepţii de după el să spună că explicaţia mai are nevoie şi de Lună, fără să sublinieze faptul că aducerea Lunii în ecuaţie contrazice flagrant explicaţia dată de marele fizician.

-2). Disputa dintre d'Alembert şi Euler.

Un al motiv istoric care poate fi adus în discuţie este disputa dintre D'Alembert şi Euler în legătură cu precesia. Din această dispută reies următoarele:

-D'Alembert s-a chinuit mult cu precesia şi, în final, a susţinut că a rezolvat problema precesiei. Din păcate, rezolvarea lui d'Alembert a fost o varză foarte complicată pe care Euler n-a reuşit s-o înţeleagă (după cum era şi firesc). Dar dacă Euler n-a înţeles-o, atunci cine ar fi putut s-o înţeleagă?

-Matematician meticulos, Euler n-a reuşit iniţial să calculeze precesia, motiv pentru care d'Alembert i-a luat-o, chipurile, înainte. Probabil, Euler o fi fost mai atent decât d'Alembert la problemele cu care se confruntă cineva care încearcă să calculeze precesia şi a concluzionat corect că nu poate rezolva problema.

-Ulterior, citind varza lui d'Alembert, Euler a avut nişte sclipiri care l-au ajutat să simplifice problema precesiei şi chiar s-o generalizeze. Din păcate, influenţat de rezolvarea lui d'Alembert, a uitat şi el să rezolve nişte probleme fundamentale care au rămas în legătură cu precesia, probleme despre care vom vorbi mai jos.

Motive fundamentale.

-3). Valoarea precesiei.

În legătură cu valoarea precesiei am câteva obiecţii. În primul rând, pentru a putea calcula aşa ceva ne-ar trebui să cunoaştem cu precizie foarte bună momentul de inerţie al Pământului. Pentru aceasta ar trebui să ştim cum e structurată substanţa în interiorul Pământului. În niciunul dintre calcule nu am văzut să se ţină seama de faptul că Pământul nu este o sferă omogenă, ci dimpotrivă, mult mai multă substanţă se găseşte aproape de centru, lucru care modifică mult momentul de inerţie. Ba, mai mult, unii dau valori ale momentului de inerţie bazându-se tocmai pe valoarea precesiei, iar alţii calculează valoarea precesiei bazându-se pe momentul de inerţie astfel calculat. Un cerc vicios fără ieşire.

În al doilea rând, formulele care calculează precesia mediază valorile de-a lungul unui an, deşi o asemenea mediere nu este justificată nicăieri. Nicăieri n-am găsit demonstraţia faptului că medierea este justificată şi că perturbaţiile sezoniere ale cuplurilor implicate nu destabilizează axa de rotaţie până la haos sau până la aşezarea ei într-o poziţie în care să se evite precesia (poziţie de energie minimă).

De asemenea, formulele actuale care dau valoarea vitezei unghiulare de precesie depind de cosinusul înclinării axei, ceea ce duce la o formulă absurdă care spune că viteza unghiulară de precesie ar creşte pe măsură ce unghiul de înclinaţie al axei ar scădea. Bineînţeles, pentru a ajunge la asemenea formule se fac o mulţime de presupuneri nedemonstrate şi nejustificate, precum faptul că viteza unghiulară de precesie este mult mai mică decât cea de rotaţie (da, aşa este în realitate, dar nu rezultă aşa din teorie, ci teoria se foloseşte de ceea ce se observă, ceea ce reprezintă un alt cerc vicios).

-4). Sensul precesiei.

Deşi se explică precesia cu ajutorul analogiei cu precesia unui titirez, totuşi, sensul real al precesiei Pământului este tocmai contrar sensului de rotaţie, spre deosebire de cazul unui titirez la care sensul precesiei coincide cu sensul de rotaţie.

-5). Direcţia precesiei.

O altă ciudăţenie a precesiei este cea legată de direcţia ei. În timp ce axa de rotaţie a unui titirez descrie un con în jurul verticalei locului, cu vârful spre centrul de gravitaţie, la precesia Pământului lucrurile stau mult mai ciudat, căci axa de rotaţie a Pământului descrie un con cu axa perpendiculară pe linia solstiţiilor, cu toate că după analogia cu titirezul axa de rotaţie ar fi trebuit să descrie un con în jurul liniei solstiţiilor şi să aibă vârful orientat spre centrul de gravitaţie care produce cuplul, căci momentul cinetic tinde mereu să se culce pe cuplul care produce precesia. În teorie se trece repede peste acest aspect al direcţiei şi lumea se concentrează mai degrabă asupra valorilor numerice care trebuie să iasă, nu asupra direcţiei.

-6). Nu există o formulă.

Nu există o formulă generală a precesiei în care să putem adăuga ce valori dorim fără să ajungem la absurdităţi. De exemplu, nu există o formulă generală care să ne spună cum depinde precesia de viteza de revoluţie. O asemenea formulă ar trebui să ne dea pentru viteze de revoluţie extrem de mici o direcţie asemănătoare cu direcţia precesiei pentru titirez, iar pentru viteze de revoluţie extrem de mari ar trebui să ne dea o direcţie perpendiculară pe planul de revoluţie.

Iată, deci, câteva motive pe care le am împotriva explicaţiilor actuale care se dau precesiei. N-aş fi avut niciodată nimic împotriva acestor explicaţii dacă alte raţiuni nu m-ar fi adus în situaţia de a le pune la îndoială. Mai precis, am ajuns la concluzia că, alături de impuls şi moment cinetic, mai există o mărime fizică importantă ce poate fi asociată unui corp (mărime pe care am numit-o „impuls volumic”). Dar noţiunea nu e totul. Mai important este că, la fel ca şi impulsul şi ca şi momentul cinetic, impulsul volumic al unui corp liber se conservă. Desigur, am căutat exemple în lumea reală ca să văd cum se conservă impulsul volumic la asemenea corpuri. Primul gând a fost la Pământul însuşi. Pământul are impuls destul de constant, are moment cinetic destul de constant. Atunci oare de ce nu ar avea şi impuls volumic destul de constant? Această întrebare m-a pus să asociez precesia Pământului cu conservarea impulsului volumic şi să caut explicaţia actuală pentru precesie, explicaţie pe care am găsit-o cu aceste probleme pe care vi le-am prezentat mai sus, probleme care mi-au întărit convingerea că explicaţia corectă nu are legătură cu vreun cuplu produs de Lună şi Soare, ci are legătură cu conservarea impulsului volumic.

Nu ştiu cât de convingător am fost, dar e păcat să credeţi în continuare într-o explicaţie incorectă a precesiei. Aprofundaţi aceste lucruri pentru a putea înţelege voi înşivă cum stau lucrurile în realitate.

Conform explicaţiei actuale, steaua polară s-ar mişca neuniform

​Dacă precesia Pământului s-ar datora Lunii şi Soarelui, atunci în absenţa influenţelor acestor două corpuri importante precesia ar dispărea, iar steaua polară ar rămâne pe loc. Dispare vreodată simultan influenţa pe care o manifestă Soarele şi Luna asupra precesiei Pământului? Se opreşte vreodată steaua polară?

Pentru a înţelege că, în conformitate cu explicaţiile actuale, răspunsul ar trebui să fie afirmativ, vom analiza ceva mai amănunţit mecanismul pe care îl presupune explicaţia actuală. Se spune că precesia Pământului se datorează celor două motive principale:

-1). Pământul este bombat la ecuator.

-2). Gravitaţia din exteriorul Pământului trage cu forţe diferite de proeminenţele ecuatoriale (trage mai puternic de partea mai apropiată decât de partea mai îndepărtată).

​​

Deci, dacă unul dintre aceste două motive ar dispărea, precesia ar înceta instantaneu, căci, conform concepţiilor actuale, precesia nu are inerţie. Mai precis, dacă Pământul ar fi perfect sferic, atunci, cu toate că ar exista în jurul său corpuri care să tragă de el, precesia nu ar mai exista, căci acele corpuri nu ar mai găsi la Pământ nişte proeminenţe de care să tragă. De asemenea, dacă Pământul, cu toate că ar fi bombat la ecuator, s-ar deplasa de unul singur prin Univers, din nou, precesia nu ar mai exista, pentru că în această situaţie nu ar mai exista corpuri în exteriorul său care să tragă de eventualele sale proeminenţe ecuatoriale.

Surprinzător însă, mai există o situaţie interesantă în care precesia poate dispărea, cu toate că Pământul este bombat la ecuator şi cu toate că în exteriorul său există corpuri care trag de proeminenţele sale ecuatoriale.

Să analizăm, de exemplu, cum trage Soarele de proeminenţe, ţinând seama de faptul că Pământul se roteşte în jurul Soarelui o dată pe an. Trage la fel Soarele de proeminenţe, oriunde s-ar afla Pământul pe orbită, sau trage în mod diferit?

Ei bine, la solstiţiul de vară, adică atunci când polul nord este mai aproape de Soare decât polul Sud (aşa cum este figurat în desen), proeminenţa cea mai apropiată de Soare se află dedesubtul liniei roşii care uneşte centrul Pământului cu centrul Soarelui. Peste şase luni, la solstiţiul de iarnă, situaţia este simetrică, adică polul sud este de data aceasta cel mai apropiat de Soare, iar proeminenţa cea mai apropiată de Soare se află deasupra liniei care uneşte centrul Pământului cu centrul Soarelui.

În ambele situaţii cuplul produs de forţele gravitaţionale este maxim (şi are acelaşi sens), căci nu mai există vreo poziţie a Pământului pe orbită în care cuplul să poată fi mai mare. În rest, el este mai mic. Dar cât de mic? Se anulează el cumva? Păi, desigur! Se anulează la echinocţii! La echinocţii trebuie să avem o situaţie de mijloc a celor două situaţii avute la solstiţii. Mai precis, dacă la solstiţiul de vară proeminenţa apropiată se află dedesubtul liniei, iar la solstiţiul de iarnă proeminenţa apropiată se află deasupra liniei, înseamnă că într-o poziţie de mijloc, adică la echinocţii, proeminenţa apropiată se află strict pe linia care uneşte centrul Pământului cu centrul Soarelui. Dar dacă proeminenţa apropiată se află pe linie, atunci şi proeminenţa îndepărtată se află tot pe aceeaşi linie. Deci, atât forţa de gravitaţie maximă, cât şi cea minimă au ambele acelaşi suport. Prin urmare, nu mai există cuplu, căci un cuplu poate fi produs doar de forţe cu suport diferit.

Care este concluzia? Păi, concluzia este că, atât la echinocţiul de primăvară, cât şi la echinocţiul de toamnă precesia pe care o produce Soarele ar trebui să dispară. Axa de rotaţie a Pământului ar trebui să se oprească din precesia ei, ar trebui să devină imobilă pentru un lung interval de timp, steaua polară ar încetini foarte mult, până când, pe măsură ce Pământul se apropie de solstiţii, cuplul produs de Soare ar deveni din nou important, iar steaua polară ar prinde din nou viteză. Aşadar, dacă precesia ar fi produsă numai de Soare, atunci de două ori pe an steaua polară ar trebui să ne apară în repaus.

În asemenea condiţii, ar mai rămâne de analizat influenţa Lunii. Dar esenţa mecanismului de precesie este considerată aceeaşi şi pentru Lună, deci, cam o dată la două săptămâni, precesia datorată Lunii ar trebui să dispară. Înseamnă că, chiar şi dacă luăm în calcul influenţa Lunii, în perioada echinocţiilor, pentru un interval de vreo câteva zile, ar trebui să nu vedem nicio deplasare a stelei polare, iar în perioada solstiţiilor, tot pentru un interval de câteva zile, ar trebui să vedem cea mai mare viteză pentru steaua polară.

Există oare asemenea variaţii în mişcarea stelei polare? Nu cumva steaua polară se mişcă regulat pe cer cu 50 de secunde de arc pe an fără să-i pese prea mult dacă e primăvară sau vară, dacă e lună plină sau primul pătrar? Eu zic că precesia nu este influenţată prea mult de anotimp şi nici de fazele Lunii. Voi ce credeţi?

Dragi astronomi, puteţi face măsurători de acest gen pe parcursul unui an pentru a descoperi asemenea variaţii în viteza stelei polare? Eu sunt convins că puteţi! Iar dacă veţi reuşi să arătaţi lumii că, în decursul unui an, viteza stelei polare nu scade nici măcar la jumătate din valoarea ei, atunci veţi dovedi că precesia nu se datorează nici Soarelui şi nici Lunii, ci are o cauză mult mai profundă pe care o putem afla în dinamica proprie a Pământului.

Advertisement